Rendas ou anuidades

CÁLCULO DO VALOR
PRESENTE
MODELO BÁSICO
Soma do valor atual na data zero
PV =

PMT PMT
PMT
PMT
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i ) (1 + i ) (1 + i )
(1 + i )n

Colocando-se PMT em evidência, temos: ⎡ 1
1
1
1 ⎤
+
+
+ ... +
PV=PMT. ⎢ (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3
(1 + i )n ⎥
⎣
⎦

PV = PMT.FPV(n/i)

FATOR DE VALOR PRESENTE
Modelo: PG
FPV (n/i) = Sn = a1 − an .q

1− q

1
−1
= (1 + i )
Onde: a1 = 1 + i
1
−n
= (1 + i ) an =
(1 + i )n

1
−1
= (1 + i ) q= 1+ i

Substituindo esses termos e realizando algumas operações algébricas (ver
ASSAF), obtemos:
FPV(n/i) =

1 − (1 + i )− n i Assim, o modelo básico de anuidade é representado por
1 − (1 + i )− n
PV = PMT . i Desse modelo, podemos obter matematicamente: PV, PMT ou n, a partir das outras variáveis.
Para obter i:
1. Utilizando tabelas que relacionam o FPV e a taxa i e que podem ser encontradas na literatura;
2. Utilizando uma calculadora financeira, ou ainda, uma máquina científica mais simples, aliada ao conceito de interpolação.

CÁLCULO DO VALOR FUTURO
MODELO BÁSICO
Soma do valor atual na data n
2

FV = PMT + PMT (1 + i ) + PMT (1 + i ) +
3

n −1

PMT (1 + i ) + ... + PMT (1 + i )

Colocando-se PMT em evidência, temos: FV=PMT. [1 + (1 + i ) + (1 + i )2 + ... + (1 + i )n−1 ]
FV = PMT.FFV(n/i)

FATOR DE VALOR FUTURO
Modelo: PG
Procedemos de maneira análoga ao cálculo de FPV, agora com: a1 = 1 an = (1 + i )n−1 q= (1 + i )

Obtemos:

(1 + i )n − 1
FFV(n/i) = i MODELOS NÃO
CONVENCIONAIS
ANTECIPADO
Procede-se da mesma forma que o modelo básico, adicionando os termos antecipados corrigidos.
DIFERIDO
Utilizamos novamente o modelo básico, corrigindo posteriormente o valor encontrado de acordo com o número de períodos de carência

Obs.: Exemplo a seguir

NÃO PERIÓDICOS
Tanto o cálculo do valor presente quanto do valor futuro deve ser feito pelo somatório da atualização e capitalização de cada um