PseudoInversa

A PseudoInversa de uma Matriz

(material preparado a partir do texto do livro Álgebra Linear, pg. 535, David Poole, Thomsom Learning, 2004

Se A é uma matriz n X n com colunas linearmente independentes, então ela é inversível, e a única solução de Ax = b é x = A-1 b.
Se m > n e A é m X n com colunas linearmente independentes (LI), então Ax = b não possui nenhuma solução exata, mas a melhor aproximação é dada pela única solução por mínimos quadrados = (AT A)-1 AT b.
A matriz (ATA)-1AT, portanto, faz o papel de uma "matriz inversa de A" para essa situação.
Definição: se A é uma matriz com colunas linearmente independentes, a pseudo-inversa de A é a matriz A+ definida por
A+ = (ATA)-1 AT

EXEMPLO 10 Encontre a pseudo-inversa de A =

Note que, se A é m X n, A+ é n X m.

SOLUÇÃO: Vamos fazer em sala a maior parte dos cálculos.

Temos A+ = (ATA)-1AT = =

Se A é, de fato, uma matriz quadrada, fica fácil mostrar que A+ = A-1

O Teorema 5 resume as propriedades mais importantes para a pseudo inversa de uma matriz.

a) A A+ A = A
b) A+ A A+ = A+
c) A A+ e A+ A são matrizes simétricas

Exercícios: para os Exercícios de 45 a 52, calcule a pseudoinversa de A:

45. A = 46.

47. A = 48. A =

49. A = 50. A =

51. A = A =

Respostas:

45. A+ = 46. A+ =

47. A+ = 48. A+ =

49. A+ = 50. A+ =

51. A+ = 52. A+ =