Propriedades de vetores

Trabalho de Calculo Vetorial.

PROPRIEDADES

Sejam u, v, w ∈ V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas as propriedades seguintes:

i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)

ii) u + v = v + u (comutativa)

iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)

iv) existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)

v) a(u + v) = au + av

vi) (a + b)v = av + bv

vii) (ab)v = a(bv)

Sejam os vetores U= (1,3,0), V= (-2,2,1) e W= (4,1,-1) e A=2 e B=3 Verefique as propriedades a cima i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)

1.1) [ ( 1,3,0) + ( -2,21) ] + (4,1,-1)= (-1,5,1) + ( 4,1,-1)= (3,6,0)
1.2) (1,3,0) + [ (-2,2,1) + (4,1,-1) ]= ( 1,3,0) + (2,3,0)= (3,6,0)

ii) u + v = v + u (comutativa)

1.1) ( 1,3,0) + ( -2,2,1)= (-1,5,1)
1.2) (-2,2,1) + ( 1,3,0)= (-1,5,1)

iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)

1.1) (1,3,0) + 0= (1,3,0)

iv) existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)

1.1) (1,3,0) - ( 1,3,0)= 0

v) a(u + v) = au + av

1.1) 2 ( 1,3,0) + 2 (-2,2,1) = 2 (1,3,0) + 2 (-2,2,1)
1.2) (2 , 6,0) + ( -4, 4,2) = ( 2,6,0) + ( -4,4,2)
1.3) (-2, 10,2) = ( -2,10,2)

vi) (a + b)v = av + bv

1.1) (2 + 3) . ( -2,2,1) = 2 ( -2,2,1) + 3 ( -2,2,1)
1.2) 5 ( -2 ,2 ,1) = ( -4,4,2) + ( -6 ,6 ,3)
1.3) (-10,10,5)= ( -10,10,5)

vii)(ab)v = a(bv)

1.1) ( 2.3). (-2,2,1)= 2 ( -2,2,1)
1.2) 6 (-2,2,1) = 2 ( -6,6,3)
1.3) (-12,12,6)= ( -12,12,6)

1u = u 1

1.1) 1 ( 1,3,0) = ( 1,3,0)
1.2) (1,3,0) =