Combinação Linear

1.3 COMBINAÇÃO LINEAR

Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de “novos vetores” a partir de um conjunto pré fixado de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R3 o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a  R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é “criado” por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u “gera” a reta que o contém. Revisando e, ao mesmo tempo, ilustrando um pouco mais a definição que segue, sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R3 pode ser escrito na forma v = ai + bj + ck onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos vetores i, j, k. Esse conceito, como veremos a seguir, não se restringe ao R2 ou R3.

1.3.1 Definição. Sejam v1, v2, ..., vn vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a1, a2, ..., an números reais. Então todo vetor vV da forma v = a1v1 + a2v2 + ... + an vn é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn.

1.3.2 Exemplo. Em R3, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u1 = (– 1, 2, 4) e u2 = (5, – 3, 1), pois:
(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1).

1.3.3 Exemplo. Em M23,

de forma que o vetor

é uma combinação linear dos vetores do conjunto e também de .

Esse exemplo mostra que um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear de diferentes conjuntos de vetores.

1.3.4 Exemplo. Em Pn, qualquer polinômio pode ser escrito como combinação linear dos monômios 1, x, x2, ..., xn. Esclarecendo e particularizando: em P3, o polinômio p(x) = – 3 + 4x2 é uma combinação de 1, x, x2, x3, pois:
– 3 + 4x2 = – 3.1 + 0.x + 4.x2 + 0.x3

Observamos aqui que qualquer polinômio p(x) = a + bx + cx2 + dx3 em P3 é obtido através de uma combinação linear dos vetores do conjunto {1, x, x2, x3} pois: a + bx + cx2 + dx3 = a.1 + b.x