Problemas De Otimiza O

Páginas: 12 (2884 palavras) Publicado: 4 de junho de 2015
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Este texto estuda um grupo de problemas, conhecido como “problemas de
otimização”, em tais problemas, quando possuem soluções, é sempre possível encontrar
uma função onde uma vez determinado o valor mínimo ou máximo absoluto da função,
também chamados de valores ótimos, obtém-se a solução do problema. Os problemasde
otimização deste texto são exemplos simples de um grupo tratado na vasta área de
Matemática Aplicada chamada de Programação Matemática, esta área é subdividida em
outros ramos, como por exemplo: Programação Linear, Programação Quadrática,
Programação Inteira, etc.
Os exemplos seguintes ilustram problemas de otimização e procedimentos usados
para resolver tais problemas.

Exemplo Resolvido 1.Encontrar o número Solução. Seja x um número arbitrário,
positivo que somado com o inverso do seu então 1 x 2 é o inverso do seu quadrado.
quadrado, dê o menor valor possível.
Assim, o problema fica resolvido,
encontrando o valor de x que minimiza a função definida por
S(x) = x + 12 .
x
Como S′(x) = 1 −
x = 0, mas apenas

3

2

2
x3

, tem-se S′ ( x) = 0 para x = 3 2 e S′ ( x) não existe para

é valorcrítico de S, pois 0 não pertence ao domínio de S.

S′ ( x) < 0 para 0 < x < 3 2 e S′ ( x) > 0 para x > 3 2 , S é decrescente no
intervalo 0, 3 2  e crescente no intervalo  3 2, +∞ , logo S tem valor mínimo


3
absoluto em x = 2 , portanto este é o número procurado.

Sendo

(

)

Exemplo Proposto 1. Mostrar que 2 é o número positivo que somado com o dobro do
seu inverso é o menor valorpossível.
Exemplo Resolvido 2. Se numa indústria
forem produzidas de 200 a 230 unidades
de uma peça, haverá um rendimento semanal
de $540,00 por cada unidade. Entretanto se
forem produzidas mais de 230 peças, o
rendimento semanal em cada peça será reduzido em $2,00 por cada peça a mais. Determinar o maior rendimento semanal da
indústria.

Solução. Considere x a quantidade de
peças produzidassemanalmente e R o
rendimento semanal da indústria. Logo, se
200 ≤ x ≤ 230 então
R(x) = 540x
e se x > 230 o rendimento de cada peça
será 540 − 2( x − 230), isto é,

2 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO

R ( x) = [540 − 2( x − 230) ]x = 1000x − 2 x 2
pois
200 ≤ x ≤ 500
x ≥ 200
1000 x − 2 x ≥ 0. Assim, resumindo tem-se

Observe que

se x > 230.

pela formulação doproblema e

2

540x se 200 ≤ x ≤ 230

R ( x) = 
1000x − 2 x 2 se 230 < x ≤ 500,
logo R′ ( x) = 0 para x = 250 e R′ ( x) não existe para x = 230, ou seja, estes são os
valores críticos de R em [200,500]. Como

R(200) = 108000, R (230) = 124200, R (250) = 125000 e R (500) = 0,
o maior rendimento semanal para a indústria é de $125.000,00 e é atingido quando forem
produzidas 250 peças.

ExemploProposto 2. Numa excursão, cada pessoa pagará $800,00 se forem no máximo
30 pessoas. Entretanto, se forem mais de 30 pessoas, será reduzido $10,00 do valor por
cada pessoa excedente. Provar que deverão ir 55 pessoas na excursão, para que haja lucro
máximo.

É comum haver na relação em que aparece a variável que deverá ser minimizada
ou maximizada, mais de duas variáveis; neste caso, usando outrasrelações que também são
dadas pelo problema, é mais conveniente explicitar a variável (que deverá ser minimizada
ou maximizada) como função de uma única variável, através da eliminação das variáveis
excedentes. Por exemplo, se num problema aparece uma relação envolvendo as variáveis
x, y e z, onde y deverá ser minimizada ou maximizada, então o problema terá que
fornecer outra relação envolvendo apenas x ez, a fim de dar meios para colocar y como
função apenas de x ou somente de z.

Exemplo Resolvido 3. Achar os pontos Solução. Para resolver o problema, deve-se
sobre a curva y = x 2 mais próximos do encontrar o ponto ( x, y) sobre a curva, tal
que a distância
ponto (0, 2).
Y
2

y=x

2

d

d = x 2 + (y − 2)2

(x,y)

de
O

função apenas de y, assim

X

(0,2)

a
2

( x, y )

Substituindo x = y,...
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