Probabilidade

Mecânica dos fluidos/A equação de Bernoulli
A aplicação das duas primeiras equações básicas (Equação de continuidade e Segunda Lei de Newton) ao escoamento unidimensional do líquido ideal dá como resultado uma equação conhecida como equação de Bernoulli. Essa equação é importante porque muitos problemas práticos podem ser aproximados razoavelmente por essa condição.
O líquido ideal é um fluido incompressível e com viscosidade nula. Escolhamos um volume de controle C que envolva o fluido de forma que não haja fluxo pelas laterais, apenas pelas faces anterior e posterior. Façamos o volume de C ser infinitesimal e sejam δAa e δAp as áreas de cada face, e δl o seu comprimento. Como C é muito pequeno, as propriedades importantes do campo só podem mudar infinitesimalmente no seu entorno; assim, se p e v são a pressão e a velocidade do fluido na face anterior, na face posterior serão p + δp e v + δv.
A aplicação da equação de continuidade

resultará em

pois o produto δv • δA pode ser desprezado. Aplicando-se a segunda lei de Newton

teremos

A força δFb será a componente do peso de C no sentido do escoamento. Seja Θ o ângulo que o fluxo faz com o eixo vertical, convencionado como o eixo Z. Assim:

Onde δz = δl • sin Θ é a projeção na vertical do elemento de volume. O sinal negativo, obviamente, deve-se ao fato de a força apontar para baixo.

A força δFs, na ausência de tensôes superficiais, uma vez que o fluido tem viscosidade nula, poderá ser calculada pelo método indicado na seção sobre hidrostática: somam-se os produtos da pressão no centro geométrico de cada superfície pela projeção da mesma no plano.

onde os subscritos a, p e l indicam as superfícies anterior, posterior e lateral, posteriormente. Como estamos considerando positivas as forças que atuam no sentido do fluxo: Assim:

pois o termo δpδA é muito pequeno e pode ser desprezado.

Tudo isso resulta em

novamente desprezando o produto de dois