Números e Funções Reais
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Números e Funções Reais – MA11Exercício 1) Considere um número racional m/n, onde m e n são primos entre si. Sob que condições esse número admite uma representação decimal finita? Quando a representação é uma dízima periódica simples?
Resolução:
Hipótese:
, onde m em são primos entre si.
Tese: (i): Admite representação decimal finita
(ii): É dizima periódica finita
Demonstração:
Se m e n são primos entre si, ele tem uma representação decimal finita, se e somente se, na decomposição de n em fatores primos só aparecem os fatores 2 e 5, isto é, n = 2a. 5b.
Ou seja:
, na representação decimal finita, existe um número inteiro k que multiplicado por n
tenha um produto uma potência de base 10.
Condição suficiente
n 2a.5b
Condição necessária
Se por hipótese n e m são primos entre si, temos uma negação da hipótese quando dizemos que: n 2a.5b. Com isso negamos a tese (i) que afirma que
é uma representação decimal
finita.
Então:
é uma dízima periódica simples.(Comprovando a tese (ii)
Com efeito, algum múltiplo de n tem a forma 99...90, mas n é primo com 10, se n divide
99...9x10r, divide o fator 99...9.
Se n.k = 99...9
(Geratriz de uma dízima periódica simples)
Exercício 2) O número 0, 123456789101112131415... é racional ou irracional?
Resolução:
1
Hipótese: 0,123456789101112131415... pode ser colocada na forma de uma fração geratriz, sendo uma dízima periódica simples.
Tese: (i): 0,123456789101112131415... é um número racional.
(ii): 0,123456789101112131415... é um número irracional.
Tomando o número: 0,123456789, e chamando = 0,123456789, temos:
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
+
+
=
=
= 0,123456789
Analisando-o por completo, encontraremos divergências:
=
A fração
somada aos antecessores:
2
0,123456789 + 0,000000001 = 123456789
Deste modo negamos a hipótese, com isso negamos também a tese (i), por se tratar de um
número