Números Complexos (Módulo III)

Projeto
Vestibular

MÓDULO III – PARTE 22

MATEMÁTICA

Números Complexos

Prof. Bruno Vianna

 Multiplicação

NÚMEROS COMPLEXOS

(a  bi)  (c  di)  (ac  bd)  (ad  bc )i

Introdução
Em 1545, Jerônimo Cardano (1501 – 1576), em seu livro “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do 3º grau que hoje é chamado de Fórmula de Cardano. Aplicando a fórmula de Cardano, seu discípulo Bombelli (1526 – 1572) obteve em seu trabalho “Álgebra” raízes quadradas de números negativos. Embora não se sentisse completamente a vontade em relação a essas raízes quadradas, Bombelli e outros matemáticos da época operavam livremente com elas, aplicando regras usuais da época.
Apenas no século XIX, quando Gauss (1787 –
1855), o grande matemático da época, divulga a representação geométrica dos números complexos

 Conjugado
Sendo z  a  bi um número complexo, define-se como complexo conjugado de “z” o complexo z  a  bi .
 Divisão

z1 z1  z 2

z2 z2  z 2

(utilizando a 1  i como unidade imaginária) é que a tal sensação de desconforto desaparece.

 Potências de “i”
Para n  IN, temos:

Definição i4n = 1 i4n+1 = i
4n+2
i
=–1
4n+3 i =–i

Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i2 = – 1.
Obs.: i é denominada unidade imaginária.

 Representação Geométrica
 Forma Algébrica

Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.

a  Re(z)  IR z  a  bi  
b  Im(z)  IR

Im
P(a,b)

b

Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.



O

 Igualdade

a
Re

a  c z1  z 2  a  bi  c  di  
b  d

O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de
“z”.
A distância “” de “P” até a origem “O” é denominada módulo de “z” e  Adição
(a  bi)  (c  di)  (a  c )  (b  d)i

indicamos: z  a  bi    a2  b2

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2011