numeros complexos

I. NÚMEROS COMPLEXOS
I.1. TEORIA RESUMIDA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo Z é um número da forma x + jy, onde x e y são reais e j = − 1 .
O primeiro termo x é chamado parte real e o segundo, jy, a parte imaginária.
REPRESENTAÇÃO GRAFICA DE NÚMEROS COMPLEXOS

Exemplos: Z1 = 4 ;

Z2 = 2 - j3 ;

Z3 = j5 ; Z4 = 3 - j2

I.2. FORMAS REPRESENTATIVAS DE UM NÚMERO COMPLEXO

1) Forma retangular
2) Forma polar ou Steinmetz
3) Forma exponencial
4) Forma trigonométrica

z = x + jy z = r∠θ z = re jθ z = r(cosθ + jsenθ)

1.3. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O conjugado de um número complexo Z, representado por Z*, portanto, pode ser assim representado: •

Na forma retangular, z = x + jy é z* = x - jy

Ex: z = 2+ j3

•

é z* = 2 - j3

Na forma polar, z = r ∠ θ é z* = r∠ − θ

Ex: z = 3 ∠ - 45° é
•

z* = 3 ∠ 45°

Na forma trigonométrica, z = r(cos θ + jsen θ ) é z* = r(cos θ - jsen θ )

Ex: z = 4(cos30° + jsen30°) é

z* = 4(cos30° - jsen30°).

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I.4. OPERAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS

I.4.1. Soma e diferença

Para somar ou subtrair dois números complexos, somam-se ou subtraem-se separadamente as partes real e imaginária, quando estes números estiverem na forma retangular.
Ex: Dados: z1 = 1 + j4

e

z2 = 4 - j6

z1 + z 2 = (1 + 4) + j(4 - 6) = 5 - j2

z1 − z 2 = (4 - 1) + j(-6 - 4) = 3 - j10

I.4.2. Multiplicação
•

Produto de dois números complexos, estando ambos na forma exponencial:

z1 z 2 = (r1e jθ1 )(r2 e jθ 2 ) = r1 r2 e j (θ1 +θ 2 )
Ex: Sendo z1 = 3e jπ / 3 e z 2 = 2e − jπ / 6 ,

•

logo, z1 z 2 = (3e jπ / 3 )(2e − jπ / 6 ) = 6e jπ / 6

Produto na forma polar ou de Steinmetz:

z1 z 2 = (r1 ∠θ1 )(r2 ∠θ 2 ) = r1 r2 ∠(θ1 + θ 2 )
Ex: Sendo: zl = 3 ∠ 30° e z2 = 2 ∠ - 45° ,
•

logo,

z1z2 = (3 ∠ 30°)(2 ∠ - 45) = 6 ∠ -15

Produto na forma retangular:

z1 z 2 = ( x1 + jy1 )( x2 + jy 2 ) = x1 x2 + jx1 y 2 + jy1 x2 + j 2 y1 y 2 = ( x1 x2 − y1 y 2 ) + j ( x1 y 2 + y1 x2 )
Ex: Sendo: