Método dos quadrados mínimos

4.7 - AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS
Introdução
Vimos, no capítulo anterior, que uma forma de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação polinomial.
Contudo, a interpolação não é aconselhável quando:
a) é preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar;
b) os valores tabelados são resultados de algum experimento físico ou de alguma pesquisa, porque, nestes casos, estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis.
Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que seja uma “boa aproximação” para os valores tabelados e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança.
4.7.1 - Método dos quadrados mínimos
4.7.1.1- O Caso discreto
Sejam dados os pontos (x1 , f(x1 )), (x2 , f(x2 )), ..., (xm , f(xm )) e as n funções g (x),
1
g2 (x), ..., gn (x) escolhidas de alguma forma.
Consideraremos que o número de pontos m, tabelados, é sempre maior ou igual a n o número de funções escolhidas ou o número de coeficientes αi a se determinar.
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes α1 , α 2, ..., α n tais que a função ϕ (x) = α 1 g1(x) + α 2 g2(x) + ... + α n gn(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Seja dk = f(xk) – ϕ (xk ) o desvio em x . Vamos observar que, um conceito de k proximidade é que dk seja mínimo para todo k = 1, 2, ..., m.
O método dos quadrados mínimos consiste em escolher os α j´s de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima. É claro que se a soma m m

k =1

k =1

∑ d 2 = ∑ (f (x k ) − ϕ( x k )) 2 é mínima, teremos que cada parcela [f(xk) – ϕ(xk)]2 é k pequena, donde cada desvio [f(xk ) – ϕ (xk)] é pequeno.
Portanto, dentro do critério dos quadrados mínimos, os coeficientes αk , que fazem com que ϕ(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função
F (α1 , α 2 , K , α n ) =
=

m

∑ [f ( x k