Metodo dos gradientes

Universidade Federal do Espírito Santo
Departamento de Informática

Parte II - Trabalho de Cálculo Numérico – 2004/1

Entrega dia 25/08/04

Objetivo: Implementar o Método das Diferenças Finitas para a resolução de Problemas de Contorno envolvendo a Equação de Poisson. Comparar a eficiência dos métodos de Gauss-Seidel e Gradientes Conjugados na resolução do sistema pentadiagonal, utilizando formas especiais de armazenamento de matrizes esparsas.

Descrição do Problema: Considere o problema de distribuição de temperatura numa placa quadrada de dimensões (0,L) × (0,L), modelado pela equação de Poisson, com condições de contorno. Deseja-se obter a solução T(x,y) no interior da placa, discretizado por uma malha uniforme e com (N+1) pontos igualmente espaçados em x e em y, com passos Δx = Δy = h.

Etapas do Trabalho:

1. Implementação
Faça um programa computacional modular para resolver problemas de Valor de Contorno, envolvendo a equação de Poisson, pelo método das Diferenças Finitas. O programa deve ter a seguinte estrutura: leitura de dados em um arquivo; montagem da matriz esparsa resultante, usando a forma de armazenamento já implementada na parte I do trabalho; tratamento das condições de contorno. Considere a possibilidade da temperatura nos lados da placa ser uma função de x ou de y. Para isso, deve ser implementada uma rotina que avalia a temperatura em cada lado da placa; resolução do sistema linear esparso pelo método dos Gradientes Conjugados e pelo método de Gauss-Seidel; possibilidade de comparação dos métodos Gradientes Conjugados e Gauss-Seidel, quanto ao número de iterações N = 100, 500 e 1000. impressão dos valores da função solução em um arquivo de saída do tipo texto, que poderá ser utilizado (pelo Octave) para traçar o gráfico; rotina para o cálculo da solução exata e erro cometido quando for o caso.

2. Validação
Teste o seu programa considerando um problema simples. Por exemplo, em condições ideais de condutividade, a