Met newton raphson

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F

- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre os método anteriores: é de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é obrigatória a condição f ( a ) × f (b ) < 0 . Seja a equação f ( x ) = 0 , da qual se conhece a raiz aproximada x0 e seja δ 0 o erro dessa raiz: f ( x0 + δ 0 ) = 0

se f ( x0 + δ 0 ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ δ 0 + R2 = 0

onde R2 é um infinitésimo de 2ª ordem em δ 0 que pode ser escrito como: R2 =

δ2 0 ⋅ f ′ ( x0 ) +... 2!

e por conseguinte será pequeno se δ 0 e se f ′′ ( x0 ) não for muito elevado. Teoricamente o valor δ n −1 = − f ( x n −1 ) tem tendência a ser cada vez mais pequeno, o f ′ ( x n −1 ) f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ δ 0 = 0

que justifica o poder ser desprezado. Desprezando R2 temos que:

ou seja,

δ0 = −
Assim, um novo valor x1 = x0 − pode ser obtido.

f ( x0 ) f ′ ( x0 )

f ( x0 ) mais aproximado da raiz da equação f ′ ( x0 )

Prosseguindo a iteração, obtém-se uma sequência de valores sucessivamente mais aproximados da raiz.

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© Eng. António Jorge Gonçalves de Gouveia

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A fórmula de recorrência é dada por: x n = x n −1 − f ( x n −1 ) f ′ ( x n −1 )

As condições de convergência são agora (por análise intuitiva): 1. x0 é suficientemente próximo de uma raiz da equação. 2. f ′′ ( x ) não toma valores excessivamente grandes 3. f ′ ( x ) não é muito próxima de zero

Interpretação gráfica do Método

O gráfico seguinte traduz a aplicação do método de Newton-Raphson a uma função.

O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não converge. Note-se que entre x0 e x1 existe um