matriz

Páginas: 29 (7248 palavras) Publicado: 28 de janeiro de 2015
MATRIZES

1

CAPÍTULO

MATRIZES
DEFINIÇÕES. SIMBOLOGIA

U

ma matriz do tipo m x n (m por n) é um quadro com m linhas e
n colunas cujos elementos podem ser números, funções, polinómios, etc, representando-se por:

⎡ a11 a12
⎢a
a 22
A = ⎢ 21


⎣a m1 a m 2

a1n ⎤ ⎛ a11 a12

a 2n ⎥⎥ ⎜ a 21 a 22
=
⎥ ⎜
⎥ ⎜
a mn ⎦ ⎜⎝ a m1 a m 2

a1n ⎞

a 2n ⎟
⎟=

a mn ⎟⎠

a11a12

a1n

a 21

a 22

a 2n

a m1 a m 2

a mn

[ ]

ou A = a ij = (a ij ) = a ij
EXEMPLO 16
4⎤

⎢ 1 3⎥


a) ⎢ 3 − 1⎥
⎢ 0
2⎥





− i⎤
⎡i 2 + i
matriz 2x3
− 1 1 + i ⎥⎦


matriz 3x2

b) ⎢
1

⎡ 3⎤
d) ⎢⎢0⎥⎥ matriz 3x1
⎢⎣2⎥⎦


e− x ⎤
c) ⎢ x
⎥ matriz 2x2
⎣⎢cos x x ⎦⎥

As filas horizontais são as linhas e as verticais as colunas. Os índicesque afectam
cada elemento da matriz indicam a sua posição. Assim o elemento a ij encontra-se na linha
i, coluna j, isto é o primeiro índice indica a linha e o segundo índice indica a coluna.
Se m = n a matriz diz-se quadrada e nesta situação, em vez de se dizer que é do
tipo mxn diz-se que é de ordem n.

21

M A T R I Z E S

Dadas duas matrizes do mesmo tipo, designam-se por elementoshomólogos, os que estão situados na mesma linha e coluna nas duas matrizes, isto é
os que têm os mesmos índices. As matrizes A = ⎡⎣ a ij ⎤⎦ e B = ⎡⎣ bij ⎤⎦ dizem-se
iguais, se são do mesmo tipo e têm iguais elementos homólogos, isto é a ij = bij
para todo i e j.
Chama-se matriz nula, aquela cujos elementos são todos iguais a zero, e
indica-se por 0mxn , para sublinhar o tipo de matriz nula emcausa. Se todos os elementos da matriz são reais, ela é uma matriz real. Se pelo menos, um dos elementos não é real, então é uma matriz complexa. Uma matriz significativa, é a
que tem pelo menos um elemento diferente de zero.
Matriz inteira em uma ou mais variáveis, é a matriz em que os seus elementos, são polinómios inteiros em uma ou mais variáveis.
O mais alto grau dos elementos, depois dereduzidos os termos semelhantes, é o grau da matriz. Assim, uma matriz com elementos numéricos, é uma matriz
inteira de grau zero.
EXEMPLO 17


a) ⎢ x3
⎢⎣ x

x + 1⎤
⎥ matriz inteira em x do tipo 2x3 de grau 3;
x2 − 2
1 ⎥⎦
x2

⎡y + x x 2 ⎤


1 ⎥ matriz inteira em x e y do tipo 3x2
b) ⎢ y
⎢ y2
x − y ⎥⎥
⎣⎢


Uma matriz do tipo 1xn, é uma matriz linha. Do mesmo modo, umamatriz do tipo mx1, é uma matriz coluna .
Dada a matriz mxn, designa-se por submatriz pxq, a matriz formada pela
eliminação de m−p linhas e n−q colunas, não necessariamente consecutivas, da
matriz dada; logo p ≤ m, q ≤ n e p + q ≤ m + n . Em particular, a matriz linha é uma
submatriz do tipo 1xn da matriz mxn, e a matriz coluna é uma submatriz do tipo
mx1 da matriz mxn.
EXEMPLO 18
5⎤
⎡1 2 0
⎢Dada a matriz A = ⎢0 1 2 − 1⎥⎥ são submatrizes de A do tipo 2x2
⎢⎣ 3 2 1
1⎥⎦

as matrizes

22

M A T R I Z E S

5⎤
⎡1 2 ⎤
⎡0
A1 = ⎢
e A2 = ⎢

⎥ . São submatrizes de A do tipo 1x2 as matrizes
⎣0 1 ⎦
⎣2 − 1⎦

⎡ A1
A 3 = [3 2] e A 4 = [1 1] . Pode-se então, indicar A = ⎢
⎣A3

A2 ⎤
A 4 ⎥⎦

As operações sobre matrizes fraccionadas, são efectuadas segundo as
mesmas regrasformais usadas no caso em que os elementos são números, em vez
de matrizes. Relativamente à matriz A são submatrizes do tipo 1x4
⎡1⎤
A 5 = [1 2 0 5] e do tipo 3x1 A 6 = ⎢⎢0⎥⎥ .
⎢⎣3⎥⎦

Prolongar ou ampliar uma matriz consiste em acrescentar uma ou mais
filas finais, isto é linhas em baixo e/ou colunas à direita.
Numa matriz quadrada ⎡⎣ a ij ⎤⎦ , chamam-se elementos principais, aqueles
emque i = j e que se dispõem ao longo da diagonal principal ou 1ª diagonal. À
outra diagonal chama-se diagonal secundária ou 2ª diagonal.
Chama-se traço duma matriz quadrada A de ordem n à soma dos
elementos principais
tr (A) =

n

∑ a ij
i =1

Elementos opostos numa matriz quadrada são os elementos simétricos
em relação à diagonal principal isto é a ij e a ji com i≠j.
Matriz diagonal...
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