Matriz

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA ¸ Centro de Ciˆncias Exatas e Departamento de Matem´tica a

´ 1a Lista - MAT 138 - No¸oes de Algebra Linear c˜

(Matrizes)

II/2007

1. Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens, 4 × 3, 4 × 5, 3 × 5, 2 × 5 e 3×5. Determine quais das seguintes express˜es matriciais s˜o poss´ o a ıveis e determine a respectiva ordem. (a) AE + B T ; (b) C(DT + B); (c) AC + B; (d) E T (CB).

2. Sejam A, B, C, D e E matrizes que satisfazem: AB T tem ordem 5 × 3; (C T + D)B tem ordem 4 × 6 e E T C tem ordem 5 × 4. Determine as ordens das matrizes A, B, C, D e E, respectivamente. 3. Construa uma matriz e identifique a ordem, em cada caso: (a) linha; (b) coluna; (c) quadrada; (f ) sim´trica; e 1 2 0 −3 eB= 1 2 2 1 . (d) diagonal. (g) anti-sim´trica. e (e) triangular superior; 4. Dadas as matrizes A =

(a) Obtenha as matrizes A2 , A · B, B 2 , A + B e (A + B)2 . (b) Verifique se vale a identidade: A2 + 2A · B + B 2 = (A + B)2 . (c) Verifique se vale a identidade: A2 − B 2 = (A + B) · (A − B). (d) Qual ´ a condi¸ao necess´ria para que as identidades dos itens (b) e (c) sejam verdadeiras? e c˜ a 5. Obtenha as matrizes que comutam com a matriz A = 1  −1 6. Dadas as matrizes A =   6 5 (A · B)12 e (B · A)23 . 7. Dadas as matrizes A = 1 3 2 5  1 −1 0 2 .

   5 −1 3 1 3 13 15   2 −2 4   e B =  3 −4 20 33  determine os elementos  1 7 3 −1  2 1 44  3 0 4 2 1 3 2 2 x −1 y 9 3 . 3 1

,B=

eC=

(a) Determine x e y tais que A · C = B · C. (b) Sendo A · C = B · C, ´ poss´ cancelar C? e ıvel (c) E se a matriz C tivesse determinante diferente de zero? 8. Se A ´ uma matriz 2 × 4, definida pela lei e 9. Dadas as matrizes A = 2 3 1 −1 eB= i + j, se i ≤ j , determine a matriz A e AT . i − j, se i > j 2 4 . 1 2

(a) Encontre uma matriz X tal que A + X = B. Essa matriz X ´ unica? e´ (b) Encontre uma matriz X tal que A · X = B. Essa matriz X ´ unica? Por quˆ? e´ e (c) Encontre uma matriz X tal que B · X = A. Essa matriz X ´ unica?