matemática integrais

CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN

7.1- Notação Sigma para Somas
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de somatório ( ∑ ).
Exemplos:
n

1+ 2 + 3 + 4 +L+ n = ∑k = k =1

n( n + 1 )
2
n

12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 = ∑ k 2 = k =1

~

soma de inteiros sucessivos

n( n + 1 )( 2n + 1 )
~ soma de quadrados sucessivos
6

A integral de Riemann de uma função f (x ) num intervalo [a ,b] , é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f (x ) , ou seja:

[c k , f (c k )]

Y

.............................

[c n , f (c n )]

......................

ck
Ak

cn
X

x k − x k −1

x n − x n −1

Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. onde: c k coordenada entre x k −1 e x k f (c k ) ordenada de c k (altura do retângulo)
∆x k = x k − x k −1
(base do retângulo)
A área do k − ésimo retângulo é dada por Ak = f (c k ) ⋅ ∆x x somando-se todas as áreas dos retângulos sob a curva f (x ) , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for ∆x k , melhor é a aproximação.
Assim:
n

∑ f ( ck )∆xk = área sob a curva f (x ) = A .
||∆x ||→0 lim k

k =1

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

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7.2- Integral Definida de Riemann
Definição: Seja f (x ) uma função contínua num intervalo [a ,b] , então se o limite n ∑ f ( ck )∆xk
||∆x ||→0 lim k =1

k

existe, a função f (x ) é integrável em [a ,b] no sentido de Riemann, e é definida por n lim

||∆xk ||→0

∑

k =1

b

f ( c k )∆x k = ∫ f ( x )dx , a onde a integral definida de f (x ) , no intervalo [a ,b] , dará uma nova função g (x ) calculada no intervalo [a ,b] , o que é escrito na forma g (x ) b , ou seja, g( x ) b = g( b ) − g ( a ) , assim: a a b ∫ f ( x )dx = g( b ) − g( a ) a 7.3- Teorema Fundamental do