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Páginas: 17 (4029 palavras) Publicado: 8 de abril de 2014


Circunferência no plano
Sabemos que os pontos de uma circunferência estão a uma mesma distância do centro O(x0, y0) e que a essa distância damos o nome de raio. Se um ponto P(xP ,yP) do plano não pertence à circunferência, a distância do centro até ele é maior ou menor que o raio. Se a distância entre O e P for maior que o raio, podemos afirmar que P é exterior à circunferência. Se adistância entre O e P for menor que o raio, então P é interior à circunferência.
Vamos analisar cada situação.
1º caso: P(xP, yP) é um ponto da circunferência.

Se P é um ponto da circunferência, então dP,O = r
2º caso: P(xP, yP) é um ponto exterior à circunferência.

Se P é um ponto exterior à circunferência, então dP,O > r
3º caso: P(xP, yP) é um ponto interior à circunferência.

Se P é umponto interior à circunferência, então dP,O < r
Exemplo 1. Dada uma circunferência de equação (x – 5)2 + (y – 4)2  = 25, verifique a posição relativa do ponto P(9, 7) em relação à circunferência dada.
Solução: Devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.
Da equação reduzida da circunferência, temos:
x0 = 5 ey0 = 4 → O(5, 4)
r2 = 25 → r = 5
Vamos determinar a distância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é igual à medida do raio, podemos afirmar que P(9, 7) pertence à circunferência.
Exemplo 2. Verifique a posição relativa entre o ponto P(2, – 5) e a circunferência de equação (x – 2)2 + (y – 3)2 = 49.Solução: Devemos verificar se a distância entre o ponto P e o centro O é maior, menor ou igual à medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos:
x0 = 2 e y0 = 3 → O(2, 3)
r2 = 49 → r = 7
Vamos calcular a distância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre P e O é maior que a medida do raio, podemos afirmar que o ponto P(2,– 5) é exteriorà circunferência.
Exemplo 3. Dada uma circunferência de equação x2 + y2 = 144 e um ponto P(0, – 7). Podemos afirmar que P é um ponto da circunferência?
Solução: Para verificar se P é um ponto da circunferência devemos calcular a distância de O até P e verificar se é igual à medida do raio. Da equação reduzida da circunferência, obtemos:
x0 = 0 e y0 = 0 → O(0, 0)
r2 = 144 → r = 12
Vamos obter adistância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre P e O é menor que a medida do raio, P(0, – 7) é interior à circunferência e não um ponto da circunferência.
Ângulos no triângulo

Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas OA e OB determinam dois ângulos:um de abertura a (ângulo convexo) e outro de abertura b (ângulo côncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e a é a medida deste ângulo.

Temos: OA e OB = lados do ângulo e O = vértice do ângulo BÔA.
Medidas de ângulos
A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo º). Um ângulo raso (aquele formado por duas semiretas opostas, como o mostrado na figura abaixo), mede 180º .

Ametade de um ângulo raso, é denominado ângulo reto , e sua medida é 90 .

Concluimos que o ângulo de uma volta completa, corresponde a dois ângulos rasos ou a quatro ângulos retos e portanto sua medida é 360 .
Dividindo-se um ângulo reto em 90 partes iguais, obteremos 90 ângulos de medida 1º cada, sendo portanto 1º a unidade fundamental da medida de ângulos. Esta unidade pode também sersubdividida em unidades menores – o minuto (‘) e o segundo (“) – de forma que:
1 grau = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundos
Simbolicamente: 1º = 60′ e 1′= 60″
O uso destas subdivisões do grau, justificam-se nas medidas de ângulos nas quais se requer alto grau de precisão.
Dados os ângulos de medidas a = 30º40’32″ e b = 18º53’40”, pede-se determinar os valores dos ângulos
a + b e a – b....
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