Matematica discreta exercicios

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Lista 01 - Gabarito - Matem´atica Discreta II - Aritm´etica
Universidade Estadual de Maring´a - UEM - 2014
Prof.: Maciel Ara´ ujo 1. Sejam m, n ∈ Z tal que m < n. Prove que, para qualquer que seja p ∈ Z tem-se que m + p < n + p.
Solu¸c˜
ao: Por hip´otese m < n, ent˜ao exite um k ∈ Z tal que m + k = n. Assim, para qualquer inteiro p vale tem-se que m + p < (m + k) + p = n + p

⇒

m + p < n + p.

Como queriamos provar.

2. Seja a ∈ Z. Prove que, se b ∈ Z ´e tal que a ≤ b ≤ a + 1, ent˜ao b = a ou b = a + 1.
Solu¸c˜
ao: Se para todo a ≤ b ≤ a + 1, para a, b ∈ Z, ent˜ao existe k ∈ Z tal que b = a + k,

(1)

deste modo, segue que a≤a+k ≤a+1 somando-se −a nesta ultima desigualdade, obtem-se 0 ≤ k ≤ 1, como n˜ao existem inteiros entre
0 e 1 sai que k = 0 ou k = 1, portanto, se k = 0 sai que, por (3), b = a, mas se k = 1, ent˜ ao, por
(3), b = a + 1, como queria-se mostrar.

3. Sejam a, b ∈ Z. Se ab = a ent˜ao a = 0 ou b = 1.
Solu¸c˜
ao: Se ab = a, ent˜ao somando-se −a em ambos os membros dessa igualdade tem-se ab − a = a − a = 0 usando a propriedade distributiva no membro da esquerda, tem-se a(b − 1) = 0

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logo, ou a = 0 ou b − 1 = 0 ⇒ b = 1.

4. Mostre que a diferen¸ca entre os quadrados de dois inteiros consecutivos ´e sempre um n´ umero ´ımpar. E a diferen¸ca entre os cubos de dois inteiros consecutivos?
Solu¸c˜
ao: sejam a e a + 1 dois inteiros consecutivos, assim
(a + 1)2 − a2 = a2 + 2a + 1 − a2 = 2a + 1 que ´e ´ımpar para todo a inteiro. Por outro lado,
(a + 1)3 − a3 = [(a + 1) − a][(a + 1)2 + a2 + a(a + 1)] = 1(a + 1)(2a + 1) se a for par, ent˜ao a + 1 e 2a + 1 s˜ao ´ımpares e, como o produto de dois ´ımpares ainda ´e um inteiro ´ımpar, sai que (a + 1)3 − a3 ´e ´ımpar. Por outro lado, se a for ´ımpar, ´ımplica que a + 1 ´e par e 2a + 1 ´e ´ımpar, e como o produto de um inteiro par por um inteiro ´ımpar e um n´ umero par podemos concluir que a pariedade de (a + 1)3 − a3 depende da pariedade de a.

5.