MAT 10º

Páginas: 5 (1024 palavras) Publicado: 17 de setembro de 2014
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
10º ANO DE MATEMÁTICA – A

Ficha de revisão nº 4
1. No referencial ortonormado da figura está representada uma circunferência com centro no
ponto C ( 5,0 ) . A recta r é paralela ao eixo dos yy e

intersecta a circunferência nos pontos P(2, − 3) e R(2, 3) .
1.1. Determine a equação reduzida da recta PC.
1.2. Escreva uma condição que defina a regiãocolorida.
1.3. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção

da circunferência com a bissectriz dos quadrantes
pares.
1.4. Considere a família de pontos Q ( 2t + 5, t 2 ) , com t ∈ I .

Determine os valores de t de modo que a recta CP contenha pontos daquela família.
2. Observe a figura onde estão representadas duas circunferências concêntricas de centro

(0, 0) e a recta r.
2.1.Escreva uma equação cartesiana da recta r.
2.2. Determine uma equação da circunferência de centro na

origem e que passa no ponto P(3, y ') .
2.3. Defina por uma condição a parte sombreada da figura.
2.4. Considere a família de rectas: 2k 2 x − 3y = 1 ; k ∈

.

Determine os valores de k de modo a obter a recta da
família paralela à recta r.

3. Represente, num referencial o. n., odomínio plano definido por:
3.1. x ≥ 0 ∧ y ≤ − x ∧ y ≥ 2x − 5 .


3.2. (x − 1)2 + y 2 ≤ 1 ∨ (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 ∨ (x − 3)2 + y 2 ≤ 1 ∧  y > 1 x − 1 ∨ 1 x > 1 − y  .


2
2



PROFESSORA: Rosa Canelas

1

2006/2007

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
10º ANO DE MATEMÁTICA – A

Ficha de revisão nº 4 – proposta de resolução
1. No referencial ortonormado da figura estárepresentada uma circunferência com centro no

ponto C ( 5,0 ) . A recta r é paralela ao eixo dos yy e
intersecta a circunferência nos pontos P(2, − 3) e R(2, 3) .
1.1. Para obter a equação reduzida da recta PC

começamos por calcular as coordenadas do vector

PC = C − P = ( 5,0 ) − ( 2, −3 ) = ( 3,3 ) .

Em

seguida

calculamos o declive do vector que também é o declive
da

rectam=

3
⇔ m = 1.
3

Resta-nos

ordenada na origem que vamos obter substituindo na equação
coordenadas de um dos pontos da recta, por exemplo

calcular
y = x+b

a
as

C(5,0) . Será então

0 = 5 + b ⇔ b = −5 . A equação reduzida da recta será y = x − 5 .
1.2. A recta RP é uma recta vertical de equação x = 2 . A circunferência tem centro em C e

raio CP =

( x − 5)

2(5 − 2)

2

+ ( 0 + 3 ) ⇔ CP = 9 + 9 ⇔ CP = 18 pelo que a sua equação será
2

+ y 2 = 18 . Por tudo isto uma condição que defina a região colorida será:

y ≥ x − 5 ∧ x ≥ 2 ∧ ( x − 5 ) + y 2 ≤ 18
2

1.3. A equação da bissectriz dos quadrantes pares é y = − x pelo que para determinarmos

as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com a bissectriz dos
quadrantes paresvamos resolver o sistema:
2
( x − 5 )2 + y 2 = 18
( x − 5 )2 + ( − x )2 = 18
 2


 x − 10x + 25 + x = 18
⇔
⇔



y = −x
y = −x
y = −x



5 ± 11

10 ± 100 − 56
x =
2x 2 − 10x + 7 = 0

x =

2
⇔
⇔

4
y = −x
5 ± 11

y = −x


y = −

2

PROFESSORA: Rosa Canelas

2

2006/2007

As

coordenadas

dos

pontos

deintersecção

são

 5 + 11 −5 − 11 
,




2
2



e

 5 − 11 −5 + 11 
,




2
2


1.4. Consideremos a família de pontos Q ( 2t + 5, t 2 ) , com t ∈ I . Os valores de t de modo

que a recta CP contenha pontos daquela família obtêm-se resolvendo a equação

t 2 = 2t + 5 − 5 ⇔ t 2 − 2t = 0 ⇔ t ( t − 2 ) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 2 . Há portanto dois pontos da
famíliaque pertencem à recta ( 5,0 ) e ( 9,4 ) .
2. Observemos a figura onde estão representadas duas circunferências concêntricas de

centro (0, 0) e a recta r.
2.1. A recta r passa nos pontos ( 0, −2 ) e (1,0 ) pelo que o

0+2
⇔ m = 2 . Como a recta tem
1− 0

declive da recta é m =

ordenada na origem igual a

−2 , uma equação

cartesiana da recta r é y = 2x − 2
2.2. Para determine...
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