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Lista de Exercícios – Equações Diferenciais – Engenharia Elétrica

1 – Para cada uma das seguintes equações diferenciais, encontre uma solução em série de potencias da forma ! 𝑎! 𝑥 ! . Tente reconhecer esta solução como a expansão em série de uma função familiar. A seguir, resolva a equação, usando um método anterior, para confirmar a solução em série.

a) y' = 2xy b) y’+y=1 c) y’+y=0 d) y’-­‐y=x2

2 – Em cada um dos seguintes problemas, encontre as soluções em séries de potencia da equação dada.

a) y’’+xy’+y=0

b) y’’-­‐y’+xy=0

c) y’’+2xy’-­‐y=x d) y’’+y’-­‐x2y=1

3 – Encontre a solução geral de

(1+x2)y’’+2xy’-­‐2y=0

em termos de uma série de potencias em x. Você pode expressar esta solução por meio de funções elementares?

4 – Encontre a série de Fourier das seguintes funções:

#
%0 se − π ≤ x < 0
#
π π se − π ≤ x ≤
%
%
%
% π 2

a) f (x) = $
b)
f (x) = $1 se 0 ≤ x ≤

2
%0 se π < x ≤ π
%
%
%
& π 2
%0 se 2 < x ≤ π
&
#0, se − π ≤ x < 0
#−a, se − π ≤ x < 0
c)
f (x) = $

d) f (x) = $
,
sendo a>0 % sen(x), se 0 ≤ x ≤ π
% a, se 0 ≤ x ≤ π

e) f(x) = x2 , -­‐π ≤ x ≤ π f) g(x) = x -­‐ |x|, -­‐π≤x≤π

2
#−x se − π ≤ x