lista exercicio algebra

Álgebra Linear
2ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 2

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dadas

1
-3
2

1
4
1
0

2
1
-1
- 2
A=
2
1
-3

B=
2
1
1
1

C=
3
-2
-1
-1

4
-3
-1

1
-2
1
2

2
-5
-1
0

Mostre que AB = AC.

AB=
-3
-3
0
1

AC=
-3
-3
0
1

1
15
0
-5

1
15
0
-5

-3
15
0
-5

-3
15
0
-5

2. Explique por que, em geral, e

Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade na operação de multiplicação. Não podemos confundir a operação de multiplicação nos números reais, onde ab = ba. E no caso dos produtos notáveis, temos (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba = 2ab. Na multiplicação de matrizes, A.B e B.A pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode não ser zero.

3. Dadas

2
-3
-5

-1
3
5

2
-2
-4
A=
-1
4
5

B=
1
-3
-5

C=
-1
3
4

1
-3
-4

-1
3
5

1
-2
-3

a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.

AB=
0
0
0

BA= 0 0
0

AC= 2
-3
-5

CA=
2
-2
-4

0
0
0

0 0
0

-1
4
5

-1
3
4

0
0
0

0 0
0

1
-3
-4

1
-2
-3

b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2.

Solução.
i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0. ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2. iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.

4. Se , ache B tal que B2 = A.

Solução. A matriz B é da forma:
B=
a b B2 = a b x a b = a2+ bc ab + bd

c d c d c d ac + cd bc + d2

Igualando os termos com a matriz A, temos:

a2 + bc = 3 (*) bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d.

Observamos ainda que:

ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd