Lista cálculo

´ Ultima Lista de Exerc´ ıcios de C´lculo I a

Data: 22/06/2012

Exerc´ ıcio 1 Seja f uma fun¸ao integr´vel em [a, t], para todo t > a. Se o limite c˜ a r r→∞

lim

f (x)dx a existe e ´ finito, definimos e a ∞

r

f (x)dx := lim

r→∞

f (x)dx a e tal limite ´ chamado integral impr´pria de f estendida ao intervalo [a, ∞). Dizemos ainda que e o a integral impr´pria ´ convergente. Caso contr´rio, ´ divergente. Utilize estes conceitos para o e a e decidir quais das integrais impr´prias abaixo s˜o convergentes e quais s˜o divergentes: o a a
∞

(a)
1∞

1 dx x2 e dx
2x

∞

(b)
1∞

1 dx x e
−2x −sx

∞

(c)
1∞

(d)
1∞

(e)
1∞

(f)
1∞

1 √ dx x 1 dx 1 + x2 te−st dt, s > 0

(g)
1∞

1 dx, s > 0 (h) 2 + x2 s e−st cos tdt, s > 0 (l)

e
1 ∞ 1

dx, s > 0 (i) (m)
1

(j)
1

x dx 1 + x2

1 ∞

ln xdx.

∞

Exerc´ ıcio 2 Calcule
1

1 dx, onde α ´ um n´mero real dado. e u xα

∞

Exerc´ ıcio 3 Determine todos os n´meros naturais para os quais a integral impr´pria u o ´ convergente. e
1

xn ln xdx

Exerc´ ıcio 4 Verifique se existem:
1

a)
0

1 dx, b) x

1 0

1 dx, c) x2

1 −1

xdx √ , d) 1 − x2

1 −1

dx √ . 1 − x2

Exerc´ ıcio 5 Teste a convergˆncia das integrais abaixo: e
∞ ∞

1)
3∞

e−2x dx

2)
0∞

1 1 sen dx x2 x 1 2 lnx √ dx 9) x 0 2 1 13) dx 2 0 4−x 3 1 17) dx 2 − 18 0 2x 5)

6)
0

∞ 0

dx (1 + x)3 dx xlnx |x|cos x2 dx

∞

∞

3)
8∞

x−4/3 dx dx dx x(lnx)2 e−x cosx dx
−∞ 2

4)
0∞

senx dx e−x cosx dx
1 ∞ −∞ 1

7) e 8) 12)

∞

10) e 11) 15)
1

xe−x dx

2

14)
0

ln xdx
∞

x+1 dx 16) 2 − 3x + 2 x xe−x dx
2

∞

18)
0

sen(x + 1)dx 19)
−∞

1 dx 2 0 (x − 1) π/4 cosx √ 20) dx senx 0

Exerc´ ıcio 6 Sejam dados um n´mero real s > 0 e um natural n = 0. Mostre que u
∞

t e
0

n −st

n dt = s

∞

tn−1 e−st dt
0

Conclua que
0

∞

tn e−st dt =

sn

n! . +1

Exerc´ ıcio 7 Use o crit´rio da compara¸ao para decidir se as integrais abaixo convergem ou e c˜ divergem:
∞

(a)
1

cos2 x dx (b) 1 + x2

1 0

e−x √ dx (c) x

2 −∞

1 + cosx |x|3

1

dx (d)
0

e−x − 0.5 dx x2

2