Lista calculo

Lista de Cálculo III
1. O espaço vetorial R2 :
(a) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2; 1; 1) e que seja perpendicular à direção do vetor ~n = ( 2; 1; 2)
(b) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (0; 1; 1) e que seja perpendicular ao plano x + 2y z = 3.
(c) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1; 2; 1) e que seja paralelo aos vetores ~u =
( 1; 1; 2) e ~v = (2; 1; 1).
(d) Determine um vetor cuja direção seja paralale à reta 2x

5y = 4.

(e) Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta 2x

3y = 1.

2. Norma de um vetor. Propriedades:
(a) Calcule a norma do vetor ~u = (0; 1; 2).
(b) Sejam ~u e ~v ; dois vetores quaisquer do Rn . Veri…que que i) k~u k~v k k~uk e iii) k~u ~v k jk~uk k~v kj.

~v k

k~uk

(c) Sejam ~u e ~v ; dois vetores quaisquer do Rn . Prove que ~u ? ~v () k~u + ~v k2

k~v k; ii) k~u

~v k

k~uk2 + k~v k2 .

(d) Seja ~u um vetor qualquer do Rn . Prove que se ~u ~v = 0, para todo ~v 2 Rn , então ~u = 0.
(e) Prove que quaisquer que sejam ~u e ~v em R3 , que k~u

~v k

k~uk k~v k.

3. Conjunto aberto. Ponto de acumulação:
(a) Veri…que quais dos conjuntos abaixo são abertos em R2 . i) f(x; y) 2 R2 tal que x2 + y 2 < 1g, ii) f(x; y) 2 R2 tal que x2 + y 2 1 e x + y > 3g e iii) f(x; y) 2 R2 tal que x + y > 3 e x2 + y 2 16g.

(b) Seja F um subconjunto do R2 . Dizemos que F é um subconjunto fechado se o conjunto de todos os (x; y) não pertencentes a F for aberto. Veri…que quais dos conjuntos abaixo são fechados. i) f(x; y) 2 R2 tal que x2 + y 2 1g; ii) f(x; y) 2 R2 tal que x 0 e y > 0g e iii) f(x; y) 2 R2 tal que x e y são racionaisg F un.
4. Função de uma variável real a valores em R2 :
(a) Desenhe a imagem F (t) = (2t

1; t + 2):

(b) Desenhe a imagem F (t) = (t2 ; t):
(c) Desenhe a imagem F (t) = (sin t; sin t).
5. Função de uma variável real a valores em R3 :
(a) Desenhe a imagem F (t) = (1; 1; t), t

0.

(b) Desenhe a imagem F (t) = (1; 0; t), t 2 R. q (c) Determine o domínio de F (t) = t;