limites fundamentais

Limites fundamentais

Os três limites abaixo são denominados limites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros limites, quando necessário. A demonstração será omitida aqui, porém é aconselhável que os estudantes façam a verificação através da visualização gráfica e/ou a construção de tabelas.

1.

2.

3.

Exemplos:

1.

2.

3.

Continuidade

Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções, ou seja, seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel. Assim, para que uma função f seja contínua em um ponto x = a é necessário que a função esteja definida em a e que os valores de f(x), para x próximos de a, estejam próximos de f(a). Uma definição formal é dada a seguir:

Definição: Uma função f é contínua no ponto a se:

(a) f(a); (b) ; (c)

Exemplos: Verifique a continuidade das funções abaixo, nos pontos indicados:
1) 2) 3)

Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a, dizemos que ela é descontínua neste ponto.

Continuidade em intervalo: Uma função f é dita contínua em um intervalo aberto (a,b) se for contínua em todos os valores de x contidos neste intervalo. f é dita contínua no intervalo fechado [a,b] se for contínua no aberto (a,b) e, além disso, e .

Uma pergunta natural que surge aqui é: como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos elementos?

Existem duas maneiras de respondê-la: podemos tomar um ponto genérico do intervalo, por exemplo, x0 , e verificar, usando a definição, se f é contínua neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma vez que x0 representa um ponto qualquer do intervalo em questão. Outra maneira é utilizar as propriedades válidas para continuidade, apresentadas abaixo.

Propriedades:
1. Toda função polinomial é contínua em todos os reais.
2. Toda função racional (divisão de polinômios) é