Limites Fundamentais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I

Prof. Nilson Costa [e-mail] 1

Limites Fundamentais
Limites Fundamentais
Outros limites importantes que aparecem com muita frequência, são os chamados limites fundamentais que discutiremos a seguir.
Teorema. [Limite Trigonométrico Fundamental]
Considere a função f : R∗ → R definida por f (x) = sen(x)/x . Então,

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Limites Fundamentais
Esse limite trata de uma indeterminação do tipo 0/0.
Como as funções sen(x) e x são ímpares, nota-se que a função f (x) =sen(x)/x é par, ou seja, f (−x) = f (x), ∀ x
∈ Dom(f ). De fato,

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Limites Fundamentais

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Limites Fundamentais

Exemplo: Mostre que

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Limites Fundamentais
Solução:

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Exercícios Propostos
Exemplo: calcule os limites aplicando os limites fundamentais. 7

Exercícios Propostos

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Exercícios Propostos

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Exercícios Propostos

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Limite Exponencial Fundamental
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses: 1 + 1 = 2:
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses: Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses: 11

Limites Fundamentais
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses: o valor justo do pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveria ser de e = 2,718281828459045235 ... reais.

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Limites Fundamentais
Teorema:[do Limite Exponencial Fundamental]
Considere a função f : R \ [−1, 0] → R definida por
Então

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Limites Fundamentais
Tomando valores cada vez maiores para x, temos:

Tomando valores cada vez menores para x, temos:

Observe que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função f assume valores cada vez mais próximos de e ≈ 2, 7182818. Desta forma,
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escrevemos

Limites Fundamentais

A prova direta deste teorema pode ser encontrada em
[4]. No entanto, vamos fazer uma prova usando o
Teorema de L’Hospital que veremos mais adiante.
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Limites Fundamentais
Exemplo: Determine:

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Exercícios Propostos
Exemplo: Calcule os limites