Integração numérica

4. Integração numérica

Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Por ex emplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular a integral.

Idéia básica da integração numérica: substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].

Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x).

Faremos uso de métodos numéricos quando:

- f(x) for uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;
- a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

Regra dos Trapézios Simples
Seja f uma função real dada sobre dois pontos (xo, f(xo)) e (x1,f(x1)). Para esta função podemos construir um polinômio interpolador de Lagrange de grau menor ou igual a 1, que aproxima a função f(x).

Seja h = x1-x0. E seja p1(x) = y0.L0(x)+ y1.L1(x) com

[pic]e[pic]

[pic]
Logo, [pic].

Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
Se o intervalo [a, b] relativamente pequeno, a aproximação do valor do integral é aceitável. Mas, se o intervalo [a, b] é de grande amplitude, a aproximação será defasada. Assim, subdividimos em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear. A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n .

[pic]
Pois, os termos f(x0) e f(xn) não se repetem.
Exemplo: Estimar o valor de [pic].
|X |Y=(1+x²)-1/2 |
|0,0 |1,00000 |
|0,5 |0,89445 |
|1,0 |0,70711 |
|1,5 |0,55475 |
|2,0 |0,44722 |
|2,5 |0,37138 |
|3,0 |0,31623 |
|3,5 |0,27473 |
|4,0 |0,24254 |

Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (x0 = 0,0 e