Integração numerica

Integração Numérica
Introdução
A integração numérica é uma técnica comumente empregada na determinação de uma integral definida, cuja função ou não é disponível ou não possui uma solução analítica. Ela consiste na aproximação de uma integral definida do tipo: I = ∫ f ( x )dx a b

(1)

por uma soma do tipo: I = ∫ f ( x )dx ≅ ∑ w i .f ( x i ).∆x a i =1 b n

(2)

na qual f(xi) são os valores da função f(x), ∆x = xi+1 - xi e wi é um valor numérico de ponderação que também é conhecido por função peso. No presente curso, nos restringiremos aos métodos de integração numérica para intervalo ∆x constante. A determinação desses métodos consiste basicamente em avaliar o valor da função peso wi.

Regra dos Trapézios
A Regra dos Trapézios consiste em se aproximar o valor da função contínua de f(x) no intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, é equivalente a aproximar uma curva qualquer por uma reta, conforme mostra a Fig. 1. Desta forma, a área sob a função f(x), que é equivalente à integral dessa função, é aproximada pela área do trapézio cuja largura é igual a (b – a) e a altura média igual a [f(a) + f(b)]/2.

y

y = f(x)

f(b)

reta

f(a)

a

b

x

Fig. 1 Gráfico de uma função aproximada por uma reta no intervalo [a,b].

1

Fazendo-se ∆x = b – a, a fórmula para a integral pode ser escrita como:

∫ f (x )dx ≅ 2 [f (a ) + f (b)] h a

b

(3)

O erro de truncamento eT pode ser expresso como: h2 eT = ( b − a ) M , onde: M = max{f ′′( ξ)}, a ≤ ξ ≤ b 12 (4)

Exemplo 1: Calcular

∫0 e

1

x

.dx empregando a regra dos trapézios.

Solução: Vamos calcular a integral aproximada pela regra do trapézio com um, dois e quatro intervalos, entre os extremos de integração [0;1]. (a) Com um intervalo, n = 1 e, portanto, h = ∆x = (b – a)/n = (1 – 0)/1 = 1.

∫0 e

1

x

.dx ≅

h [f (0) + f (1)] = 1 e 0 + e1 = 1 (1 + 2,71828) = 1,85914 2 2 2

(

)

(b) Com dois intervalos, n = 2 e h = ∆x =