Integral de superfície

INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

Definição de uma Integral de Superfície
Definimos o que significa integrar uma função f(x,y,z) numa superfície paramétrica lisa σ. Para motivar a definição, consideraremos o problema de encontrar a massa de uma lâmina curva cuja função de densidade (massa por unidade de área) seja conhecida. Definimos uma lâmina como sendo um objeto achatado idealizado que é suficientemente fino para poder ser considerado como uma região plana bidimensional. Analogamente, uma lâmina curva é um objeto idealizado que é suficientemente fino para poder ser considerado como uma superfície no espaço tridimensional. Uma lâmina curva pode parecer uma chapa encurvada ou englobar uma região tridimensional, comoa casca de um ovo. Modelaremos a lâmina curva por uma superfície paramétrica lisa σ. Dado um ponto (x,y,z) de σ, vamos denotar por f(x,y,z) o valor correspondente da função densidade. Para calcular a massa da lâmina, procedemos como segue:
8064555245Como mostra a figura ao lado, dividimos σ em n pequenas porções σ1,σ2,…,σn com áreas ∆S1, ∆S2,… ∆Sn respectivamente. Seja (xk*, yk*, zk*) um ponto amostral da k-éssima porção e ∆Mk a massa dessa porção.
Se as dimensõesσk forem muito pequenas, então o valor de fnão irá variar muito ao longo da k-éssima porção e podemos aproximar fnessa porção pelo valorf(xk*, yk*, zk*). Segue que a massa da k-éssima porção pode ser aproximada por
∆Mk≈f(xk*, yk*, zk*)∆Sk(1)
A massa M de toda a lâmina pode então, ser aproximada por
M=k=1n∆Mk≈k=1nf(xk*, yk*, zk*)∆Sk(2)
Utilizaremos a notação n→∞ para indicar o processo de aumentar n de tal forma que a dimensão máxima de cada porção tenda a 0. É plausível que o erro em (1) vá tender a 0 quando n→∞ e que o valor exato de M seja dado por
M=limn→∞k=1nf(xk*, yk*, zk*)∆SkO limite em (2) é muito parecido com o limite usado para definir massa de um arame. Por analogia, apresentamos a definição seguinte:
(3)
Definição: Se σfor um superfície paramétrica lisa, então a integral de