Integrais Definidas

Integrais Definidas
Introdução: No cálculo de integrais definidas utilizamos somas de muitos números. Para expressar tais somas de maneira compacta utilizaremos um símbolo chamado somatório :  ( sigma )
Somatório:  ( sigma) : representa a soma de um certo número de parcelas com alguma característica comum. A variável assume valores inteiros positivos sucessivos. Exemplos:
1)
2)
3)

3

n

2

= 0 2 12  2 2  3 2 = 14

n 0
4

 (i  1) = ( 2+1) + (3+1) +(4+1) = 12 i 2
3

k

2

(k  3) = 1 2 (1  3)  2 2 (2  3)  3 2 (3  3)  1. (-2) + 4 . (-1) + 9 . 0 = (-6)

k 1

A Área como limite de uma Soma
Como calcular a área da região sob a curva y = f(x) em um intervalo [a,b], f(x) contínua e positiva como mostra a figura abaixo? y y = f(x)

A x a

b

Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesma largura x = (b – a)/n de modo que a = a 1  a 2  a3  ....  a n  b . Seja x j um ponto qualquer no intervalo
[a,b]. Construímos em cada um desses subintervalos, retângulos de largura x e comprimento f(x j ) , conforme a figura abaixo:

A área do retângulo de ordem j pode ser expressa como: A ret = f(x j )x .Essa área é aproximadamente igual a área sob a curva no intervalo considerado.
Somando as áreas de todos os retângulos, temos uma aproximação da área da região sob a curva.
A  f(x 1 ) x + f(x 2 )x + f(x 3 )x +.....+ f(x n )x = [f(x 1 ) + f(x 2 )+f(x 3 )  .......  f ( x n ) ]. x =

n

 f (x j 1

j

)x

Intuitivamente é possível admitir que quanto maior o número n de subintervalos, mais a soma A se aproxima do que consideramos como a área da região sob a curva dada.
Assim, a área A da região sob a curva é:

A = lim n   n  f (x j 1

j

)x

 n

 f ( x j ) x
 j 1


é chamado Soma de Riemann. (1826-1866)

Observamos que, no caso da área, a função considerada deve ser positiva para todo x  [a, b] . Para lidar com todos os casos, incluindo