Integral definida
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INTEGRAL DEFINIDAO matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de exaustão para determinar a quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas.
Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo [a,b].
A
B
A
B
Se dividirmos o intervalo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maior for o número n, mais próxima da área da figura será a soma das áreas dos retângulos.
O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por definição, a área da figura dada.
Na figura abaixo, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais a x e construímos os retângulos com base igual a x e altura igual a f (x): y f(x)
f(x2) f(x1) f(x3)
x = (b-a) / n
a
x
x1
x
x2
x x3
b
X
A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, isto é :
A
[ f ( x1)x f ( x2 )x f ( x3 )x ... f ( xn )x] lim n
ou
A
n
f ( xk )x lim n k 1
A figura acima dá o significado geométrico desta soma se f(x) 0 e também mostra que esta soma é uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas ordenadas x = a e x = b.
Sendo f (xn)x a área do retângulo de base x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar que quanto mais retângulos tivermos menor será x e quanto melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação entre a área sob a curva e suas outras delimitações.
Exemplo: y y
x x