Integral Definida

5.4. Área e o Teorema Fundamental do Cálculo Nesta seção, vamos aprender a usar o cálculo para determinar a área de regiões de forma incomum.

Definição de Integral Definida Seja f uma função não-negativa e contínua no intervalo [a, b]. A área da região limitada pela curva de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por

A expressão é chamada de integral definida da função f de a até b, onde a é o limite inferior de integração e b é o limite superior de integração.

Cálculo de uma Integral Definida
Exemplo 1: Determine .
Solução: Essa integral definida representa a área da região limitada pela curva da função f(x) = 2x, o eixo x e a reta x = 2, como mostra a figura abaixo. A região é triangular, com uma altura de quatro unidades e uma base de duas unidades. Fórmula da área do triângulo

Teorema Fundamental do Cálculo Se f é uma função não-negativa e contínua no intervalo fechado [a, b], então

onde F é qualquer função tal que F’(x) = f(x) para qualquer x no intervalo [a, b].
Roteiro para Usar o Teorema Fundamental do Cálculo
1. O Teorema Fundamental do Cálculo se refere ao cálculo de integrais definidas e não à determinação de antiderivadas.
2. Ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, é conveniente usar a notação

3. A constante de integração C pode ser abandonada, já que

Propriedades das Integrais Definidas
Sejam f e g funções contínuas no intervalo [a, b].
1.
2.
3.
4.
5.

Determinação de uma Área Usando o Teorema Fundamental
Exemplo 2: Determine a área da região limitada pelo eixo x e pala curva da função

Solução: Observe que no intervalo , como mostra a figura abaixo. Assim, a área da região pode ser representada por uma integral definida. Para determinar a área, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo.

=
Assim, a área da região é 4/3 unidades quadradas.

Exemplo 3: Determine a integral definida e desenhe a região cuja área