Integrais de linha em campos conservativos

Integrais de Linha em Campos Conservativos
Carlos Rodrigues Deimison Leite
´ Universidade Federal do Para - UFPA

8 de Outubro de 2012

Carlos Rodrigues Deimison Leite

Integrais de Linha em Campos Conservativos

Introducao ¸˜

Campos conservativos: ˜ Os campos vetoriais F que sao o gradiente dum campo ´ escalar apropriado, isto e, tais que F = ˆ f tem muito

interesse na Engenharia e F´sica, pois o respectivo ı ´ integral de linha e independente do caminho. Tais campos ˜ vetoriais sao denominados campos conservativos.

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Integrais de Linha em Campos Conservativos

Integral de linha em um campo conservativo

O resultado a seguir fornece uma maneira conveniente de calcular uma integral de linha de um campo conservativo. O resultado estabelece que o valor da integral depende ˜ somente das extremidades do caminho, e nao do caminho espec´fico que os liga. ı

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Integrais de Linha em Campos Conservativos

Teorema Fundamental das Integrais de Linha

Teorema Fundamental ˜ Seja C uma curva lisa em uma regiao aberta R dada por r (t) = x(t)i + y(t)j ´ ˜ se F (x, y ) = Mi + Nj e conservativo em R,M e N sao ˜ cont´nuas em R, entao ı F .dr = c c

f .dr = f (x(b), y (b)) − f (x(a), y(a))

´ onde f e uma funcao potencial de F , ou seja, ¸˜ F (x, y) = f (x, y)

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Integrais de Linha em Campos Conservativos

Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha

Exemplo Calcule c ´ F .dr onde C e uma curva lisa por partes de

(−1, 4) para (1, 2) e F (x, y ) = 2xyi + (x 2 − y )j

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Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Solucao ¸˜ ´ Sabemos que F e o gradiente de f onde f (x, y ) = x 2 y − y2 2

+k

´ Consequentemente F e conservativo e, pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, segue que F .dr = f (1, 2) − f (−1, 4) c = 12 (2) − =4