Humberto

Dep. Matem´tica Pura. FCUP a

´ ALGEBRA LINEAR II

Resumo das aulas te´ricas e pr´ticas o a
1.o ano da licenciatura em Matem´tica a

Ano lectivo de 2005/06

Jo˜o Nuno Tavares a

´ INDICE:

1 Determinantes. Produtos vectorial e misto (ou triplo) em IR3 1.1 1.2 1.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR . Interpreta¸˜o geom´trica ca e do determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpreta¸˜o geom´trica do det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca e
3

2 2 6 8 10 10 13 14 15 17 20 20 22 27 31 36 36 38 39 40 43 49 51 51 56

2 Espa¸os vectoriais com produto interno c 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Espa¸os Euclideanos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Espa¸os Hermitianos (ou Unit´rios) complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c a Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplica¸˜es ` geometria co a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases ortonormadas num espa¸o vectorial com produto interno . . . . . . . . . . c M´todo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ca Decomposi¸˜o ortogonal. Teorema da aproxima¸˜o ´ptima . . . . . . . . . . . . . ca ca o Aplica¸˜es. M´ co ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Subespa¸os invariantes. Subespa¸os pr´prios. Valores pr´prios c c o o 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Conjuga¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Subespa¸os invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Valores e vectores pr´prios de um