Hiperbole

HIPÉRBOLE

Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias entre dois pontos fixos, chamados focos da hipérbole, é constante. Esta constante é menor que a distância entre os focos.

Fonte: www.google.com.br (2006)

Figura 23: Corte hiperbólico do cone.

Esboço da construção da hipérbole: Iremos notar uma grande semelhança na construção da hipérbole com a da elipse visto que no caso desta a soma das distâncias aos focos era constante e daquela passa a ser a diferença das distâncias. Observe o desenho abaixo:

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Figura 24: Definição da hipérbole..

Nele temos que, se T é ponto da hipérbole, então d (F1,T )  d (F 2,T )  k .

Passemos agora para construção da hipérbole com régua e compasso:

Temos os mesmos elementos da construção da elipse: os focos F1 e F2, quaisquer do plano, o círculo C1 de centro F1, o ponto P, escolhido aleatoriamente sobre C1, a reta r unindo F1 a P, a reta m, mediatriz do segmento PF2 e o ponto T, r  m . Seja H a hipérbole procurada.

Notemos que na construção da elipse o segundo foco localizava-se interiormente a C1, ao passo que agora está posicionado fora de C1. Isto faz toda a diferença, gerando as seguintes equações:

F1T  TP  k (constante = raio de C1)

e,

TP  TF 2  F1T  F 2T  k (por construção)

portanto,

T  H . (veja figura 25).

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Figura 25: Propriedade da hipérbole..

Gerando o movimento deste desenho no Z.u.L. ele adquire o seguinte aspecto:

Figura 26: Esboço da hipérbole.

Observe a formação dos dois ramos da hipérbole H.

Equação da hipérbole: novamente coloquemos os focos sobre o eixo Ox, F = (c,0) e F' = (– c,0), e tomemos um ponto qualquer P = (x, y) da hipérbole.

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Fonte: www.soko.com.ar (2006)

Figura 27: Parametrização da hipérbole.

Neste caso, a diferença das distâncias entre PF e PF' é igual ao dobro da distância que há entre o centro das coordenadas e a intersecção da hipérbole