Geometria

Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano
1. Introdução
A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais e pontos do espaço por ternos ordenados de números reais. Desse modo, curvas no plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio de equações, o que torna possível tratar algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar de forma geométrica diversas questões algébricas. Ao longo destas notas, admitiremos que o leitor tenha conhecimento dos principais axiomas e resultados da Geometria Euclidiana Plana e Espacial, relativos aos seus elementos básicos: pontos, retas e planos. Por exemplo: por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta; por três pontos do espaço não situados na mesma reta passa um, e somente um plano; fixada uma unidade de comprimento, a cada par de pontos A e B corresponde um número real, denominado distância entre os pontos A e B ou comprimento do segmento AB, que designamos por d(A, B) e satisfaz as seguintes propriedades:

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Geometria Analítica - Capítulo 1

a. d(A, B) ≥ 0. b. d(A, B) = 0 ⇐ A = B. ⇒ c. d(A, B) = d(B, A). d. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)(desigualdade triangular). e. d(A, B) = d(A, C) + d(C, B) ⇐ A, B e C são colineares e C ⇒ está entre A e B.

Fig. 1: O ponto C está entre A e B, logo d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).

2. Coordenadas na reta
Seja r uma reta. Dizemos que r é uma reta orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso, chamado positivo. O sentido oposto sobre a reta r é denominado negativo.
Fig. 2: Escolha de um sentido de percurso na reta r .

Sejam A e B pontos na reta r . Dizemos que o ponto B está à direita do ponto A (ou que A está à esquerda de B) quando o sentido de percurso de A para B coincide com o sentido positivo escolhido na reta r.

Fig. 3: B está à direita de A na reta orientada r .

Um eixo E é uma reta orientada na qual é fixado um ponto