geometria analitica

´
- Geometria Anal´ ıtica e Algebra Linear
Gabarito da Prova 2 – Branca

June 4, 2012

1

Quest˜o 1 a Para que 3 vetores no espa¸o sejam coplanares ´ necess´rio e suficiente que o c e a produto misto entre eles seja nulo:


V1


(V1 × V2 ) · V3 = 0, ou seja, det  V2  = 0
V3
Ent˜o, vamos encontrar os valores de α tais que a ultima igualdade seja a ´ v´lida. a


2 0 α 

(V1 × V2 ) · V3 = det  1 α −1 
1 −3

5

= 10α + 0 − 3α − α2 − 0 − 6
= −α2 + 7α − 6 = 0
⇔α=

−7 ±

√
7 ± 25
49 − 24
=
⇔
−2
2

√

α=6 α=1 Logo, V1 , V2 e V3 s˜o coplanares se, e somente se, α = 1 ou α = 6. a 1

2

Quest˜o 2 a 2.1

Item a)

Reta r1 :
AB = (3 − 1, 2 − 1, −1 − 0) = (2, 1, −1) ´ vetor diretor de r1 . e A = (1, 1, 0) ∈ r1 . Logo, as equa¸˜es param´tricas de r1 s˜o co e a 
 x = 1 + 2t

y = 1+t r1 :

 z=
−t
Reta r2 :
CD = (1 − 0, 3 − 1, −1 − (−2)) = (1, 2, 1) ´ vetor diretor de r2 . e C = (0, 1, −2) ∈ r2 . Logo, as equa¸˜es param´tricas de r2 s˜o co e a  s  x=

y = 1 + 2s r2 :

 z = −2 + s
Posi¸˜o relativa: Como os vetores diretores das retas n˜o s˜o paralelos (pois ca a a um n˜o ´ m´ltiplo escalar do outro), ent˜o as retas n˜o s˜o paralelas. a e u a a a
Vamos verificar se s˜o concorrentes ou reversas. Para isso, vamos verificar a se o sistema abaixo possui solu¸˜o. ca 

s
 1 + 2t =
 2t − s = −1


1 + t = 1 + 2s ⇔ t − 2s = 0


 −t
 −t − s = −2
= −2 + s
Escalonando a matriz aumentada correspondente:


2 −1
 1 −2

−1 −1




1 −2
−1
L1 → L2 
0 

 2 −1
−→
−2
−1 −1

1 −2

 0 3

0 −3

0




L2 → L2 − 2L1
0
−1 
−→

−2
L3 → L3 + L1


1

L3 → L3 + L2 
−1 

 0
−→
−2
0

−2
3
0

0



−1 

−3

Como a ultima linha da matriz na forma escalonada ´ da forma [ 0 0 −3 ],
´
e o sistema n˜o tem solu¸˜o. Logo, as retas n˜o se interceptam (n˜o s˜o cona ca a a a