Geometria analítica - retas planos angulos

Retas

EQUAÇÕES DA RETA

1. Equação paramétrica da reta
Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas P(x, y, z) e A(x1, y1, z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v=ai+bj+ck um vetor de mesma direção de r.
Desenvolvendo a equação vetorial da reta r:
P=A+ t v, x, y, z=(x1, y1, z1)+t(a, b, c)
(x,y,z)=(x1+at,y1+bt,z1+ct)
x=x1+aty=y1+btz=z1+ct

As equações acima, nas quais a, b, e c não são todos nulos (v≠0), são denominadas equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas fixado.
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia no intervalo -∞,+∞.

2. Equação vetorial da reta
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo v. Para que um ponto P do espaço pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores AP e v sejam colineares, isto é:
AP = tv
P-A=tv
P=A+tv

Porém, se P=(x,y,z), A=(x1, y1, z1) e v=(a, b, c) a equação fica:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)

Qualquer uma das equações descritas acima é denominada equação vetorial da reta r. O vetor v=(a, b, c) é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. Verifica-se que cada vetor de t corresponde a um ponto particular P, quando t varia no intervalo -∞,+∞ o ponto P descreve a reta.

3. Equação reduzida da reta
As equações simétricas da reta são: x-x1a= y-y1b= z-z1c

Isolando as variáveis y e x e expressado-as em função de x obtemos: y-y1b = x-x1a y-y1= ba (x-x1)y-y1= bax -ba x1y= bax -ba x1+y1 | z-z1c= x-x1az-z1= ca (x-x1)z-z1= cax -ca x1z= cax -ca x1+z1 |
Considerando

ba=m-ba x1+y1=n, | ca=p-ca x1+z1=q |
Encontramos as equações reduzidas da reta: y=mx+n z=px+q

4. Equação da reta que passa por dois pontos
A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direção do vetor v=AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

5. Equação simétrica da reta
Das equações