Geometria 2 - retas e planos

1- Determinação de Planos
É possível determinar um plano de quatro maneiras. Vejamos:

1.1- Postulados

Ao possuir três pontos não colineares poderemos determinar um plano único que os contém.

1.2 - Teorema

Uma reta e um ponto, não pertencem a ela, determinam um único plano que os contém.

1.3 - Teorema

Determinamos um único plano por duas retas concorrentes.

1.4 - Teorema

Determinamos um único plano através de duas retas paralelas distintas.

Demonstração de um dos teoremas da determinação

Teorema
Uma reta e um ponto, que não pertencem a ela, determinam um único plano que os contém. Vejamos:

Demonstração:

Existência do plano
Considerando r como reta e P como ponto, com P ∉ r.
Notando que numa reta existem inúmeros pontos, consideramos dois pontos diferentes A e B, relativos a r.
Determinamos o plano α através dos pontos A, B e P por não serem colineares. O plano α possui além do ponto P o ponto r por conter dois de seus pontos diferentes A e B (postulado da inclusão).

Unicidade do plano
Se houvesse dois diferentes planos α e β possuindo r e P então também existiriam dois planos diferentes contendo os três pontos não colineares.

1. Paralelismo
2.1 - Transitividade no paralelismo

Se dissermos que duas retas são paralelas a uma terceira, elas assim serão consideradas paralelas entre si.

Vejamos a figura:

2.2 - Teorema fundamental do paralelismo

O principal requisito para que uma reta seja paralela a um plano é que de modo algum ela esteja inclusa nele e seja paralela a uma reta desse plano. Vejamos:

2.3 - Consequências

Consideremos duas paralelas distintas, todo e qualquer plano que possui uma é paralelo ou possui a outra. Vejamos a figura:

Ao notarmos que uma reta é paralela a um plano, podemos afirmar que toda e qualquer reta paralela a ela que tenha um ponto uniforme com o plano estará contida nele.
Vejamos:

Se