GA CAP 04

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru

CAPÍTULO 4
PRODUTOS

Nos capítulos anteriores os conceitos foram introduzidos para duas regiões geométricas também chamadas de Espaços Vetorias: o Plano Geométrico, representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço
Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço). No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o caso, voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico.

1 Produto Escalar r r
Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores, r r r r r r denotado por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde r r
0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre u e v .

Propriedades r r r r
1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais, ou seja, θ = 90o. r r r r
2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u r r r 3) u ⋅ u = | u |2 r r r r
4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ r r r r r r r
5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w

1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar r r r r r r r r
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores r r r r definição temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos cossenos temos:

cos θ =

do

r r r r
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
. Substituindo, temos: r r
2 | u || v |

r r r r r r r r r r | u + v |2 − | u |2 − | v |2 r r r r | u + v |2 − | u |2 − | v |2 u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅
⇒ u⋅v =
⇒
r r
2 | u || v |
2

ℜ3.

Por

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
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2 r r (x + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x12 + y12 + z12 ) − (x2
2 + y2 + z2 ) ⇒ u⋅v = 1
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