Funções reais

Funções Reais

Uma função f: A → B consta de um conjunto A, chamado de domínio da função (ou conjunto onde a função é definida), um conjunto B, chamado o contradomínio da função ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite associar, de modo bem determinado a cada elemento XA, um único elemento de f(x) B, chamado o valor que a função assume em x ou no ponto x. Dizemos quem uma função f é real, se seu campo de definição é o conjunto R ou um subconjunto dele e seu contradomínio é o conjunto R. Usamos a notação D(f) para designar o campo de definição da função f
Exemplos:
i. f(x) = x para todo xR. D(f) = R; ii. f(x) = 2x - 1 para x (1,2] . D(f) = ([1,2]; iii. f(x) = x+1 para x (0,1);
O gráfico de uma função f: A → B
Uma função f é dita injetiva ou biunívoca quando dados dois quaisquer elementos do domínio x1 e x2, se x1 x2, então f(x1) f(x2).
Por outro lado, podemos utilizar a contra-positiva para demonstrar que uma função f é injetora, isto é, dados dois quaisquer elementos do domínio x1 e x2, se f(x1) = f(x2) então x1 = x2.
Exemplo
A função afim f: R R, definida por f(x) = a.x + b é injetora, pois, dados os reais x1 e x2, sendo f(x1) = f(x2) por hipótese, então a.x1 + b = a.x2 + b. De onde decorre que x1 = x2. Fato que garante a injetividade de f.
Diz-se que uma função f é sobrejetora ( Sobre B)quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio de f, isto é, Im(f) = CD(f).

Em outras palavras podemos afirmar que uma função f é sobrejetora quando para todo y pertencente ao contradomínio de f, existe x pertencente ao domínio de f tal que f(x) = y. Um exemplo de função sobrejetora é a função f: R+ R+, definida por y = f(x) = x2 é sobrejetora. De fato, para todo y R a equação x2 = y tem R+ e f (x) = y. É fácil ver que Im(f) = CD(f) = R+.

Limite de Funções Seja f: x R uma função com valores reais, definida num subconjunto XR (função real de variável real). Se l for um número real, significa que o valor de