função

1
Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas
Profa .: Elisangela Farias e Sérgio Motta

FUNÇÕES

Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é um terno (f; X; Y ), f : X ! Y , sendo f uma relação de X para Y satisfazendo:
(a) Dom(f ) = X,
(b) Se (x; y) 2 f e (x; z) 2 f então y = z:
[Dizemos que função é uma regra que a cada elemento x 2 X, associa um único elemento y 2 Y . ]
Em notação, f :X !Y x 7 ! f (x) = y
Dizemos que y é a imagem de x sob f e que x é a imagem inversa de y sob f.
O conjunto Y é dito contra-domínio da função e não necessariamente coincide com o conjunto das imagens da função.
Quando é dada uma lei x 7 ! f (x) = y que associa aos elementos de X elementos de Y; para termos certeza que esta lei de…ne uma função f : X

! Y; devemos veri…car que

efetivamente a cada elemento de X é associado um único elemento de Y: Deve-se mostrar que se a = b; então f (a) = f (b): Além disso, deve-se garantir ainda que D(f ) = fx 2 X; 9y 2 Y : f (x) = yg = X:

Exemplos e Contraexemplos
Exemplo 0.1. A função f : X ! X, que ao elemento x associa o próprio x; recebe o nome de função identidade de X, e é denotada por IdX :

2
Exemplo 0.2. Seja f : X

! Y uma função tal que 9b 2 Y com f (x) = b para todo

x 2 X. Esta aplicação é a função constante.
Exemplo 0.3. Toda função s : N

! A é chamada sequência em A: Costuma-se

escrever sn ao invés de s(n):
Exemplo 0.4. Seja A um conjunto. Uma função qualquer f :A

A !A

é chamada de operação em A.
Dizemos que a operação é comutativa se f (a; b) = f (b; a); 8(a; b) 2 A

A:

A operação é dita associativa se para todos os elementos a; b; c 2 A se tem f (a; f (b; c)) = f (f (a; b); c):
Um elemento e 2 A é dito elemento neutro para a operação f se para todo elemento a 2 A se tem f (a; e) = f (e; a) = a:
Se f possui um elemento neutro e; então um elemento a 2 A é dito simetrizável se