Função

Estudo de uma função
F(x)=ln|lnx|
࢒࢔൫࢒࢔ሺ࢞ሻ൯, ࢙ࢋ ࢞ > 1
F(x) =ቊ
࢒࢔൫−࢒࢔ሺ࢞ሻ൯, ࢙ࢋ ૙ < ‫1 < ݔ‬
4

y

3

2

1

x

0
-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

Domínio:

Df= {x∈ ܴ: ሺ‫1 > ݔ ∧ 0 > ݔ݈݊ ∧ 0 > ݔ‬ሻ ∨ ሺ−݈݊‫1 < ݔ ∧ 0 > ݔ ∧ ݔ‬ሻ =

= ሺ‫1 > ݔ ∧ 1 > ݔ ∧ 0 > ݔ‬ሻ ∨ ሺ‫1 < ݔ ∧ 0 > ݔ ∧ 1 < ݔ‬ሻ} = ]0, +∞ሾ\{1} =

= R+/{1}

Joana Pereirinha

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Estudo de uma função
Pontos de interseção com os eixos coordenados:
-Interseção ox:

࢞ > 1: ݈݊൫݈݊ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = 0 ⇔ ݈݊‫݁ = ݔ ⇔ 1 = ݔ݈݊ ⇔ 0݁ = ݔ‬

૙ < ‫݈݊ :1 < ݔ‬൫−݈݊ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = 0 ⇔ −݈݊‫= ݔ ⇔ 1−݁ = ݔ ⇔ 1− = ݔ݈݊ ⇔ 1 = ݔ‬

1
݁

Logo, a função interseta o eixo ox duas vezes, no ponto A de coordenadas (e,0) e no ponto B de coordenadas (௘ , 0ሻ
ଵ

-Interseção oy:
Não existe ln(0), logo a função no interseta o eixo oy. Como o domínio é R+/{1} a função não pode intersetar o eixo dos yy.

Continuidade:
A função é contínua em todo o seu domínio, pois:
•
•

࢞ > 1: ࢌሺ࢞ሻ = ݈݊൫݈݊ሺ‫ݔ‬ሻ൯ que é a função composta de duas funções contínuas, logo é contínua em ]1, +∞]
૙ < ‫ࢌ :1 < ݔ‬ሺ࢞ሻ = ݈݊൫−݈݊ሺ‫ݔ‬ሻ൯ que é a função composta de duas funções contínuas, logo é contínua em ]0,1ሾ

Pelo que a função dada é contínua em todo o seu domínio.
Simetrias:

Uma função f é par se: f(x)=f(-x), ∀‫ܦ ∈ ݔ‬௙ , isto é se for simétrica relativamente ao eixo dos yy.

Uma função f é ímpar se: f(x)=-f(-x), ∀‫ܦ ∈ ݔ‬௙ , isto é se for simétrica relativamente à origem. Uma vez que o domínio da função é R+/{1}, esta não apresenta simetrias com os eixos, ou seja, não é par nem ímpar.

Joana Pereirinha

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Estudo de uma função
Assíntotas:
Vertical: lim௫→ଵష ݈݊ሺ−݈݊ሺ‫ݔ‬ሻሻ= ݈݊ሺ−݈݊ሺ1ି ሻሻ= ln(0+)=−∞

lim ݈݊ሺ݈݊ሺ‫ݔ‬ሻሻ == lnሺlnሺ1ା ሻሻ = ݈݊ሺ0ା ሻ = −∞

௫→ଵశ

Como lim ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = lim ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −∞, então a reta de equação x=1 é uma
ష
శ
௫→ଵ

௫→ଵ

assíntota vertical bilateral do gráfico da função. lim ݈݊ሺ−݈݊ሺ‫ݔ‬ሻሻ = ݈݊ሺ−݈݊ሺ0ା ሻሻ = ݈݊ሺ+∞ሻ = +∞

௫→଴శ