Fundamentos de Calculos Slides de Resumo

Páginas: 10 (2439 palavras) Publicado: 18 de setembro de 2014
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
A U L AS 01 a 0 3

Limites Finitos e Infinitos num Ponto
Definições, interpretação Gráfica e Propriedades

01 de 29

3.1 – Limites: Noções Gerais
O uso básico do conceito de limite é descrever como uma
função se comporta quando a variável independente tende
a um dado valor.
EXEMPLO 01 - UMA NOÇÃO INICIAL
Examinar o comportamento da função:

f ( x)  x 2  x 1
quando x encontra-se cada vez mais próximo de 2.

02 de 29

aproximando pelo
lado esquerdo

x

f(x)

1.0

1.000000

1.5

1.750000

1.9

2.710000

1.95

2.852500

1.99

2.9770100

1.995

2.985025

1.999

A partir da figura abaixo e da tabela ao lado, fica
evidente que os valores de f(x) ficam cada vez
mais próximos de 3 à medida que x estiver cada
vezmais próximos de 2, por qualquer um dos
lados (esquerdo ou direito).

2.997001

7

6

f ( x)  x 2  x  1

5

2
3.003001

2.005

3.015025

2.01

3.030100

2.05

3.152500

2.1

3.310000

2.5

4

4.750000

f(x)

2.001

3

2

1

0

3.0

7.000000

aproximando pelo
lado direito

0

0.5

1

1.5
x

2

2.5

3

03 de 29

Pode-setornar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto se
quer, ao se fazer x suficientemente próximo de 2.

Descreve-se este fato dizendo que o “limite de x2-x+1 é 3
quando x tende a 2 por qualquer um dos lados” e escreve-se:

lim ( x 2  x  1)  3

x 2

Observe que na análise deste limite preocupa-se apenas com
os valores de f próximos do ponto x=2 e não com o valor de f
em x=2.
Uma idéiageral: tornando os valores de f(x) tão próximos
quanto possível de L ao se fazer x suficientemente próximo
de a (mas não igual a a), então pode-se escrever:

lim f ( x)  L

x a

o qual deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a
é L”.
04 de 29

EXEMPLO 02
Discutir o valor do limite

x
lim
x 0 x  1  1
Solução
Esta função não está definida em x=0.
No entanto, ointeresse aqui é no comportamento da função
para valores de x próximos a 0, mas não para x=0.
A tabela a seguir mostra valores de x tendendo a zero de
ambos os lados.

05 de 29

aproximando pelo
lado esquerdo

x

f(x)

-0.01

1.994987

-0.001

1.999500

-0.0001

1.999950

-0.00001

1.999995

Nos dois casos, o valor de f(x) fica
cada vez mais perto de 2 e, portanto,pode-se conjecturar que:

0
0.00001

2.000005

0.0001

2.000500

0.01

2.004988

x 0

x
2
x  1 1

Para verificar se esta conjectura está
realmente correta, pode-se manipular a
função algebricamente, racionalizando
o denominador. Assim:

2.000050

0.001

lim

aproximando pelo
lado direito

x

x 1 1







x x 1 1
x 1 1 x 1 1


x x  1  1



x  1  1
x  0



x 1 1

06 de 29

Por meio desta nova expressão:

f ( x)  x  1  1
está claro que quando x fica cada vez mais próximo de zero, os
valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 2, conforme
conjecturado anteriormente.

EXEMPLO 03
Discutir o valor do limite

sen x
lim
x 0 x

07 de 29

Solução
Esta função também não estádefinida em x=0.

x (rad)

f(x)

 1.0

0.84147

Com a ajuda da tabela ao lado
pode-se sugerir que

 0.9
 0.8

0.87036
0.92031

sen x
1
x 0 x

 0.7
 0.6
 0.5
 0.4
 0.3
 0.2

0.97355

lim

Ao contrário do exemplo anterior,
onde foi possível confirmar
algebricamente o limite,
simplificando a fórmula da função,
isso não é possível aqui.

 0.1
 0.010.89670

0.94107
0.95885
0.98507
0.99335
0.99833
0.99998

08 de 29

Mais adiante será dado um argumento geométrico que comprova
que esta conjectura está correta.
ATENÇÃO

Evidências numéricas podem conduzir a conclusões incorretas
sobre os limites devido a erros de arredondamento ou porque a
tabela dos valores utilizada não é bastante ampla para revelar
completamente o...
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