FAex2solucoes

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Fund. de Algebra:
Exerc´ıcios 2, umas solu¸c˜oes

1. Omitida.
2. Mostre que se o triplo de um numero primo p ´e igual ao quadrado de um numero natural n menos 4 ent˜ao p s´o pode ser o primo 7.
R: Temos 3p = n2 − 4 = (n − 2)(n + 2), logo (j´a que p ´e primo) temos quatro casos:
(a) n − 2 = 1 =⇒ n + 2 = 5. Mas 3 |5, ent˜ao este caso ´e imposs´ıvel.
(b) n + 2 = 1 =⇒ n − 2 = −3, mas p > 0 logo 3p > 0. Imposs´ıvel.
(c) n + 2 = 3 =⇒ p = n − 2 = −1. Imposs´ıvel.
(d) n − 2 = 3 =⇒ p = n + 2 = 7.
Logo, a u
´nica possibilidade ´e que p = 7.
3. Suponha que p e q sejam dois numeros primos tais que p < q e q|(p2 − 1).
Mostre que p = 2 e q = 3.
R: q|(p2 − 1) = (p − 1)(p + 1). J´a que q ´e primo, q|(p − 1) ou q|(p + 1), logo temos dois casos:
(a) q|(p − 1). Mas q > p e p − 1 = 0 j´a que p ´e primo. Ent˜ao, este caso n˜ ao pode acontecer.
(b) q|(p + 1). Temos que q > p mas q|(p + 1), logo q = p + 1. Mas ent˜ ao, p e p + 1 s˜ ao primos consecutivos. A u
´nica possibilidade ´e que p = 2, q = p + 1 = 2 + 1 = 3 (j´a que o u
´nico primo par ´e 2).
4. Ordenando o conjunto dos numeros primos, pn denota o n-esimo primo.
Prove que n˜ ao existe a ∈ N tal que p1 p2 . . . pn + 1 = a2 .
R: Observa¸c˜ oes: O menor primo ´e p1 = 2. Todos os outros primos p2 , . . . pn s˜ ao ´ımpares. Logo 2|p1 . . . pn mas 4 |p1 . . . pn .
Vamos supor (procurando contradi¸c˜ao) que existe a tal que p1 p2 . . . pn +
1 = a2 , ou seja p1 . . . pn = a2 − 1 = (a − 1)(a + 1).
Dois casos:
(a) a = 2k ´e par. Logo a − 1, a + 1 s˜ao ´ımpares. Mas
2|p1 . . . pn
2 |(a − 1)(a + 1) e eles n˜ ao podem ser iguais.
1

(b) a = 2k + 1 ´e ´ımpar. Logo a − 1, a + 1 s˜ao pares. Mas segue que
4|(a − 1)(a + 1)
4 |p1 . . . pn e de novo eles n˜ ao podem ser iguais.
Em todo caso, ganhamos uma contradi¸c˜ao. Logo, n˜ao existe nenhum a da forma requerida.
5. Considere n 2 um natural. Mostre que n˜ao existe um n´ umero natural a tal que 2n + 1 = a3 .
R: Observe que 2n +1 ´e ´ımpar, e a par implica que a3 tamb´em ´e par. Segue que caso a