Exercícios de cálculo 1

Exemplo:
Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m?
Solução:
Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone (Fig. 1). Fig 1. Tanque na forma de um cone V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque a uma taxa de 2 m3/min, dh quando h = 5m. Para expressar r em termos de h, temos, dos triângulos semelhantes, Logo, Então, dt dhh161dt

Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa de π25 32m/min quando a profundidade da

2 (agnesi)Basta calcular a derivada da função e usar a definição de tangente:

O exerício está errado, pois, a coordenada x não fornece o valor de y.

y'o = (y - yo)/(x-xo)

xo = 2 yo = 8/2² + 4 yo = 8/4 + 4 y0 = 2 + 4 y0 = 6.
3 - a) Para descobrir o valor máximo, derivamos a equação S(t) e igualamos a zero para obter o ponto crítico:

S'(t) = 160 - 32t = 0
32 t = 160 t = 5

Substituindo o valor de t=5 em S(t), obtemos a altura máxima:

S(5) = 400 pés

b) A velocidade é obtida pela derivada da equação da posição(S(t))

No caso, S'(t) = V(t)
V(t) = 160 - 32t

O problema quer saber a velocidade e o módulo da velocidade da pedra quando ela está a 256 pés do solo na subida e na descida.

Substituindo o valor da altura em S, temos:

256 =160t-16t^2
16t² - 160t + 256 = 0 Simplificando e dividindo tudo por 16 t² - 10t + 16 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos o valor do tempo nessa altura:

t1 = 8s t2= 2s

Substituindo os