Exercicios de calculo 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
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INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E BIOLOGICAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primeira lista de Exerc´ ıcios de C´lculo Diferencial e Integral I - MTM 122 a 1. Discuta se as quest˜es abaixo s˜o verdadeiras ou falsas: o a
𝑎) ∣𝑎∣ ´ sempre positivo e 𝑏) ∣𝑎𝑏𝑐∣ = ∣𝑎∣∣𝑏∣∣𝑐∣ para quaisquer 𝑎, 𝑏, 𝑐 reais
𝑐) ∣𝑎∣ ´ sempre negativo e 𝑑) ∣𝑎 − 𝑏∣ ≤ ∣𝑎∣ − ∣𝑏∣ para quaisquer 𝑎, 𝑏 reais

𝑒) ∣𝑎∣ pode ser nulo

𝑓 ) ∣𝑎 + 𝑏∣ = ∣𝑎∣ + ∣𝑏∣ para quaisquer 𝑎, 𝑏 reais

𝑔) ∣𝑎∣ = 𝑎 para todo 𝑎 real

ℎ) ∣𝑎𝑏∣ < ∣𝑎∣∣𝑏∣ para quaisquer 𝑎, 𝑏 reais

𝑖) ∣𝑎2 ∣ = ∣𝑎∣2 = 𝑎2 para todo 𝑎 real

𝑗) ∣(−2) + 𝑐∣ = 2 + ∣𝑐∣ para todo 𝑐 ≤ 0.

2. Elimine o s´ ımbolo de valor absoluto:
∣ − 6∣
𝑎) (−5).∣3 − 6∣
𝑏)
𝑐) ∣ − 7∣ + ∣4∣
(−2)
𝑓 ) ∣4𝑥∣
𝑔) ∣2𝑥 ∣
ℎ) ∣3 + 𝑥∣ se 𝑥 < −3
3. De acordo com a defini¸˜o, calcule: ca 𝑎) ∣3 − 5∣
𝑏) ∣ − 3 + 5∣

5
𝑒) ∣5 − 𝑥∣ se 𝑥 < 5
∣ − 2∣
𝑖) ∣ − 1∣ + ∣ − 9∣.

𝑑)

𝑐) ∣ − 3 − 5∣

𝑑) ∣ − 1∣ + ∣ − 6∣

𝑒) ∣ − 3 − 5∣ + ∣5∣

𝑓 ) ∣ − 8∣ + ∣3 − 1∣

𝑔) 12 + ∣ − 8∣ − ∣ − 1 − 3∣

ℎ) ∣3 − ∣ − 5∣∣

𝑖) ∣∣ − 2∣ − ∣ − 10∣∣.

4. Aplicando a defini¸˜o, determine: ca 𝑎) ∣4𝑥 + 1∣ quando 𝑥 = −1
2

𝑏) ∣5 − 2𝑥∣ quando 𝑥 = 1

3

𝑐) ∣𝑥 − 3𝑥 + 1∣ − ∣𝑥 + 𝑥∣ quando 𝑥 = −2.
5. Considere, em ℝ, a express˜o 2𝑥 − ∣𝑥∣. Determine o valor num´rico desta express˜o para: a e a √
𝑎) 𝑥 = −4
𝑏) 𝑥 = 10
𝑐) 𝑥 = 2.
6. Calcule: 𝑎) ∣𝑥 − 3∣ + ∣𝑥 − 1∣, com 𝑥 > 3,
7. Resolva as equa¸oes: c˜ 𝑎) ∣15𝑥 + 3∣ = 7
𝑒) ∣3 − 𝑥2 ∣ + ∣2𝑥∣ = 0

𝑏) ∣𝑥 − 4∣ − ∣𝑥 − 6∣, com 𝑥 < 4.

𝑏) 𝑥 + ∣3 − 4𝑥∣ = 6
√
𝑓 ) (𝑥 − 5)2 + 𝑥 = 10

𝑐) 𝑥 − ∣10 − 2𝑥∣ = 11

𝑑) ∣𝑥2 − 1∣ = 8

𝑔) cos(𝑥/2) = sen 𝑥.

8. Resolva as inequa¸oes e use intervalos para representar o resultado, quando poss´ c˜ ıvel.
𝑎) ∣𝑥 + 3∣ < 1
𝑏) ∣𝑥 + 2∣ ≥ 3
𝑐) ∣2 − 𝑥∣ + ∣𝑥 − 3∣ < 7
𝑑) ∣𝑥 − 1∣ ≤ ∣𝑥 − 2∣
𝑒) 𝑥 − ∣10 − 2𝑥∣ ≥ 2

𝑓 )