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Diferencial de uma Função

Seja a função . Sua derivada é ou usando a notação de Leibniz temos , onde: é a diferencial de e é a diferencial de ou da função.

Exemplos

1 Seja a função , sua derivada é e a diferencial da função é .
2 Seja a função , sua derivada é e a diferencial da função é .
3 Seja a função , sua derivada é e a diferencial da função é .
4 Seja a função , sua derivada é e a diferencial da função é .

Exercícios

Determine a diferencial das seguintes funções:

1) R.:

2) R.:

3) R.:

4) R.:

5) R.:

Significado Geométrico de Diferencial

Seja um ponto da função definida no intervalo I, sendo então um elemento de I e seu valor correspondente para a função.

A diferença chamamos de que será o acréscimo ou incremento da função relativamente ao ponto .

Sabemos que a derivada .

Consideremos a reta secante que passa pelos pontos e e que forma um ângulo com o eixo das abscissas e a reta , tangente ao gráfico da função no ponto , e que forma um ângulo com o eixo das abscissas.

Quando calculamos a derivada em relação a , a reta passa de secante para tangente e se for pequeno em relação a considera-se que e .

Então a diferencial da função pode ser definida por:

Cálculo Aproximado

Sabemos da figura anterior que , mas e Portanto:

Como e é um número muito pequeno o produto temos:

Exemplos:

1) Calcular o valor aproximado de

Solução

1) Sabendo que , determine por diferencial, o valor aproximado de . R.: 2) Utilizando diferencial, calcule o valor aproximado de . R.:

3) Calcular o valor