euler

Um exemplo da importância do número de Euler A história do número e = 2.718281828... confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples (y = 1÷x) que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, e assim toparem com o cálculo e com o número "e".
Muitos outros já haviam aproximado o valor de "e" antes (até os babilônios, em cálculos financeiros). Eu mesmo topei com o número "e" numa simulação financeira, mas nem eu nem os babilônios compreenderam a importância disso à época, pois não sabiam cálculo ;)
O número "e" tem inúmeras facetas. A que pretendo mostrar envolve algo relativamente simples - a função potência, ensinada no primário da seguinte forma:
104 = 10 × 10 × 10 × 10
Potência é, a princípio, uma forma compacta de expressar uma multiplicação repetida. Quando o expoente (no caso acima, 4) é inteiro positivo, esse modelo é suficiente. Também aprendemos no ensino fundamental algumas propriedades envolvendo potências de mesma base, todas facilmente provadas por indução:
104 × 102 = 10(4+2) = 106
104 ÷ 102 = 10(4-2) = 102
Agora, seria admissível um expoente zero ou negativo? A definição primeira de potência não comporta essa idéia. Mas as propriedades das potências de mesma base justificam tais expoentes:
103 ÷ 103 = 10(3-3) = 100 = 1 (pois 1000 ÷ 1000 = 1, então 100 deve ser 1)
Graças a esta equivalência, podemos expressar função recíproca y=1÷x na forma y=x-1, mais elegante, pelo menos tipograficamente.
E um expoente não-inteiro? Vamos começar com o caso de um expoente na forma 1÷x. Esse tipo de fração tem um nome bonito, mas não lembro agora :) Que valor poderia sair de
8(1÷3)?
Usando um pouco a imaginação, poderíamos dizer que o resultado deveria ser "um terço" de oito, mas um "terço multiplicativo", de modo que
8(1÷3) × 8(1÷3) × 8(1÷3) = 8
Ora, 2 × 2 × 2 = 8, então o "terço multiplicativo" é nada mais que a raiz cúbica de 8. Uma potência