etapa 4 atps caalculo I

4 RESUMO TEÓRICO: DERIVADOS E LIMITES

4.1 Derivados de uma função e o ponto de domínio.
No estudo sobre a taxa de variação pontual, dada uma função y=f(x), e fixado um valor x0 do domínio de f, consideramos um acréscimo Dx, positivo ou negativo, de modo que o intervalo [x0,x0+Dx ], se Dx>0, ou [x0+Dx , x0] se Dx<0 esteja inteiramente contido no domínio da função; calculamos então o quociente que fornece a taxa de variação média da função f no referido intervalo. A seguir, calculamos o que fornece a taxa de variação pontual de f no ponto x. Observação: Ao escrever estamos pensando nos dois limites laterais e , obtidos quando fazemos Dx se aproximar de 0 pela direita - isto é, Dx > 0 - ou pela esquerda - isto é, Dx < 0 - respectivamente.
Definição: Chamamos de derivada da função y=f(x) no ponto x0, ao limite da taxa de variação média quando Dx=0, se tal limite existe. Desse modo, a derivada da função no ponto x0 pode ser entendida como sendo a taxa de variação pontual, no ponto x0. Indicamos tal fato por:

Observação: Colocando x=x0+Dx , temosDx=x-x0. Então, se Dx®0, temos Dx®x0.
Portanto, podemos, equivalentemente, escrever:

que é uma outra maneira de se escrever a derivada da função f no ponto x0.

Observações:
1. Se a função y=f(x) admite derivada em um ponto, dizemos que a função é derivável nesse ponto.
2. Se a função y=f(x) admite derivada em todos os pontos de um intervalo, dizemos que a função é derivável nesse intervalo. É preciso observar que estamos nos referindo a um intervalo aberto, pois numa extremidade de um intervalo fechado não poderemos estar calculando o limite que exige que o acréscimo Dx tenda a zero pelos dois lados: pela esquerda e pela direita.
Notação:
Existem várias formas para indicar a derivada de uma função y=f(x), num ponto x0:
1) f'(x0)
2)
3)
Na última notação não fica explícito o ponto no qual a derivada está sendo calculada. Quando isso for necessário, essa notação fica: ou
A notação utilizando a forma de quociente é