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MATEMÁTICA

Binômio de Newton
Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Se quisermos calcular (a + b)4, podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência (a + b)n a partir da anterior, ou seja, de (a + b)n-1.
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais
Sendo n e p dois números naturais (n ≥ p), chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número

, que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

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TRABALHOS ESCOLARES
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais
Se n, p, k ∈ IN e p + k = n então

1ª)

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
Exemplos:

2ª)

Se n, p, k ∈ IN e p ≥ p-1 ≥ 0 então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
Exemplos:

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