Equações diferenciais

Experimento do Teorema da Energia Mecânica
O arranjo básico encontra-se em anexo, ou seja, o bloco é abandonado em repouso, com a mola sem deformação inicial; as forças agentes no processo serão: ➢ força elástica; ➢ força peso; ➢ força de atrito; ➢ reação normal.

Considere-se um instante (t) em que o bloco tenha posição (S); ao longo do plano inclinado sua aceleração será (a), dada pela segunda Lei de Newton: m⋅a=−k⋅S − fatm⋅g⋅sen

S

Fe = k . S Fat = µ . N N

N =m⋅g⋅cos sendo:  S =a tem-se:

¨ m⋅S =−k⋅S − fatm⋅g⋅sen aqui vale ressaltar que a força de atrito possui o seguinte comportamento: ➢ atrito estático => ajusta-se no intervalo: 0 fat ⋅N ;

m.g

➢ atrito cinético => é constante: fat =⋅N ; ➢ o sentido da força de atrito sempre se oporá ao escorregamento, ou seja, no caso se oporá á velocidade do bloco; ➢ nos extremos do movimento, quando a velocidade se anula, deve-se verificar se a força de atrito ao inverter de sentido produzirá ( ou não ) o equilíbrio, perpetuando a posição como a última do movimento;
Resolvendo a equação diferencial:

¨ k S ⋅S=−⋅g⋅cosg⋅sen m Solução da homogênea:

¨ k S ⋅S= g⋅sen −⋅cos m S= A⋅cos ⋅t com =



k m

Solução particular:

k ¨ S=0  ⋅S =g⋅ sen−⋅cos  m m S= ⋅g⋅ sen −⋅cos k m k S= ⋅g⋅ sen −⋅cosA⋅cos ⋅t k m k k ˙ S=− A⋅ ⋅sen ⋅t m m

Solução Geral:







Impondo as condições de contorno, para o primeiro meio período da função: a posição é nula para t=0; m k S= ⋅g⋅ sen −⋅cosA⋅cos ⋅t k m m 0= ⋅g⋅ sen −⋅cos A⋅cos  k a velocidade é nula para t = 0 ; k k ˙ S=− A⋅ ⋅sen ⋅t m m k 0=−A⋅ ⋅sen m finalmente... a solução geral válida para o intervalo de tempo: 0t 
T m sendo T =2⋅⋅ 2 k



 





m k S= ⋅g⋅ sen −⋅cos⋅1cos ⋅t k m



T  ; se existir o 2 equilíbrio o movimento acabou, é o caso do experimento; caso não exista equilíbrio, o bloco voltará a